Question

Uma questão que me foi proposta, achei interessante.
Calcular a soma S , em função dos n termos da série:
S = 1 + 11 + 111 + 1111 + ...+ 1...1

Answer 1

S = 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 11..1
10S =   10 + 110 + 1110 + ... + 11..0 + 11..10

Fazendo S - 10S teremos:
-9S = 1 + 1 + 1 + ... + 1 - 11..10
9S = 11..10 - n

Veja que:
$11...10 = 10^{n} + 10^{n-1} + ... + 10$

$11..10 = \frac{10(10^{n}-1}{10-1}$

Logo teremos:
$9S = \frac{10^{n+1}-10}{9}-n$
$S = \frac{10^{n+1}-10-9n}{81}$