Question

Resolver a seguinte equação (equação de euler):
xd²y/dx² - dy/dx = 3x²

Answer 1

$x\,\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}\\ \\ \\ \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{dy}{dx}=3x$


Para resolver esta equação, façamos a seguinte mudança de variável:

$z=\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{dy}{dx}$


Derivando a expressão acima em relação a $x,$ temos

$\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{dy}{dx} \right )\\ \\ \\ \dfrac{dz}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right)\cdot\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx} \right )\\ \\ \\ \dfrac{dz}{dx}=-\dfrac{1}{x^{2}}\cdot\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$


Multiplicando os dois lados por $x,$ temos

$x\,\dfrac{dz}{dx}=-\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{dy}{dx}+\, \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\\ \\ \\ x\,\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{dy}{dx}$


$\bullet\;\;$ Substituindo na equação diferencial, temos

$x\,\dfrac{dz}{dx}=3x\\ \\ \\ \dfrac{dz}{dx}=3\\ \\ \\ z(x)=3x+A_{1},\;\;\;A_{1}\in \mathbb{R}$


Substituindo de volta $z$ por $\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{dy}{dx},$ temos

$\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{dy}{dx}=3x+A_{1}\\ \\ \\ \dfrac{dy}{dx}=3x^{2}+A_{1}x\\ \\ \\ y(x)=x^{3}+\dfrac{A_{1}}{2}\,x^{2}+A_{2}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}y(x)=x^{3}+C_{1}\,x^{2}+C_{2} \end{array}}\;\;\;C_{1},\,C_{2}\in\mathbb{R}$