Question

Calcule a área da região limitada pelos gráficos das funções y²=ax, ay=x² ,y²=-ax ,ay=-x² se a>0 .
As curvas são parábolas .

Answer 1

A área da região limitada no primeiro quadrante é:

                                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_1 = \frac{a^2}{3}\end{gathered}$

A soma em módulo das quatro áreas é:

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_t= \sum_{i=1}^{4} |A_i| = \frac{4a^2}{3}\end{gathered}$

Para descobrir a área limitada sobre o gráfico temos que calcular a integral definida, a área entre limitada é dada pela diferença das integrais.

Como a integral é definida, temos que saber qual os intervalos de integração, ou seja, achar as intersecções dos gráficos, como elas são simétricas podemos calcular apenas a área do primeiro quadrante, a intersecção é dada pela solução :

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}y^2 = ax\\ ay = x^2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x = y = 0\\x = y= a\end{cases}\Rightarrow \{\left(0, \ 0\right), \left(a, \ a\right)\}\end{gathered}$

Ou seja, um intervalo de integração sempre será 0, e o outro irá depender do valor de a, agora temos que escrever as funções que vamos integrar, isolando y nas duas equações e adotando y = f(x) temos que as funções são:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&y = f(x) = \sqrt{ax}\\\\&y = g(x) = \frac{x^2}{a}\end{aligned}$

É fácil notar que no intervalo [0, a] a função g(x) será menor ou igual a função f(x), como podemos ver com a inequação:

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) \geq g(x)\\ \\\sqrt{ax} \geq \frac{x^2}{a}\\ \\ax \geq \frac{x^4}{a^2}\\ \\a^3 \geq x^3\\ \\x \leq a \end{gathered}$

Ou seja, f(x) será maior que g(x) sempre que x for menor ou igual a 'a', ou seja o intervalo [0, a].

Portanto teremos que descontar a área de g(x) sobre a área de f(x), então temos que a área dada será:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}A = \int_{0}^{a} f(x)\, dx - \int_{0}^{a}g(x)\,dx\end{gathered}$

Colocando as funções temos:

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A = \int_{0}^{a} \left(ax\right)^{\frac{1}{2}}\, dx - \int_{0}^{a}\frac{x^2}{a}\,dx\end{gathered} }$

Como 'a' é uma constante, ela pode sair da integral por conta da propriedade de multiplicação por escalar:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx\end{gathered}$

Então podemos escrever a integral como:

                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A = a^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{a} x^{\frac{1}{2}}\, dx - \frac{1}{a}\int_{0}^{a}x^2\,dx\end{gathered} }$

Logo ficamos apenas com duas integrais imediatas, a integral de um monômio é dada por:

                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int x^n= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1\end{gathered} }$

Então calculando nossas integrais temos:

                                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A = \frac{2 a^{\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{2}}}{3}\bigg|^{a}_{0} - \left.\frac{x^3}{3a}\right|^{a}_{0}\end{gathered} }$

Veja que no extremo de integração x = 0, é zero em ambas, ficamos apenas com o extremo a, portanto:

                                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A = \frac{2 a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{3}{2}}}{3}- \left.\frac{a^2}{3}\end{gathered} }$

Podemos simplificar para:

                                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A = \frac{2 a^{2}}{3}- \left.\frac{a^2}{3}\\ \\A = \frac{a^{2}}{3}\\ \\\end{gathered} }$

Portanto a área correspondente a região limitada no primeiro quadrante é:

                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_1 = \frac{a^2}{3}\end{gathered}$

Espero ter ajudado

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