Question

1- Determine as coordenadas do centro e a medida do raio das circunferência dadas pelas equações :?
a) x²+(y-2)²=9
b) x²+y²+2x-7=0
c) x²+6x+y²+y=-33/4
d) y²+8(y-x)+x²+28=0

Answer 1

Dada a equação reduzida da circunferência 

(x - a)² + (y - b)² = r²

temos que o centro é C = (a,b) e o raio é r.

a) x² + (y - 2)² = 9

Como a equação está na forma reduzida, podemos concluir que:

Centro: (0,2)
Raio: 3

b) x² + y² + 2x - 7 = 0

Completando quadrado:

x² + 2x + 1 + y² = 7 + 1
(x + 1)² + y² = 8

Portanto:

Centro: (-1,0)
Raio: 2√2

c) $x^2+6x+y^2+y=-\frac{33}{4}$

Completando quadrado:

$x^2+6x+9+y^2+y+\frac{1}{4} = -\frac{33}{4} + \frac{1}{4} + 9$
$(x+3)^2+(y+\frac{1}{2})^2=1$

Portanto,

Centro: $(-3,-\frac{1}{2})$
Raio: 1

d) y² + 8(y - x) + x² + 28 = 0

Completando quadrado:

x² - 8x + y² + 8y = -28
x² - 8x + 16 + y² + 8y + 16 = -28 + 16 + 16
(x - 4)² + (y + 4)² = 4

Portanto,

Centro: (4,-4)
Raio: 2

Answer 2

Vamos encontrar as coordenadas dos pontos centrais e as medidas dos raios das circunferências ao comparar suas equações à equação reduzida da circunferência, que é a seguinte: $\boxed{(x - X_{a})^{2} + (y - Y_{b})^{2} = r^{2}}$.

a) x² + (y - 2)² = 9

C = (0, 2)

r = 3

b) x² + y² + 2x - 7 = 0

> Completando quadrados:

x² + 2x + 1 + y² = 7 + 1

(x + 1)² + y² = 8

C = (-1, 0)

R = √8

c) x² + 6x + y² + y = - 33/4

> Completando quadrados:

x² + 6x + 9 + y² + y + 1/4 = - 33/4 + 1/4 + 9

(x + 3)² + (y + 1/2)² = 1

C = (-3, - 1/2)

R = 1

d) y² + 8 (y - x) + x² + 28 = 0

y² + 8y - 8x + x² + 28 = 0

> Completando quadrados:

x² - 8x + y² + 8y = -28

x² - 8x + 16 + y² + 8y + 16 = -28 + 16 + 16

(x - 4)² + (y + 4)² = 4

C = (4, -4)

R = 2

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Espero ter ajudado, um abraço! :)