Question

∫ x^2√ 1+xdx
integral de x elevado ao quadrado, vezes a raiz de um mais x dx.
gostaria que alguém me ajudasse a resolver esta integral. e necessário utilizar algum artificio.

Answer 1

Olá Neagon

∫ x² * √(1 + x) dx

u = √(1 + x) , du = 1/(2√(1 + x)) 

2 ∫ u² * (u² - 1)² du = 2 ∫ (u⁶ - 2u⁴ + u²) du

2  ∫ u⁶ du - 4 ∫ u⁴ du + 2 ∫ u² du = 

2u⁷/7 - 4u⁵/5 + 2u³/3 = 

u = √(1 + x)

2/7 (1 + x)^(7/2) - 4/5 (1 + x)^(5/2) + 2/3 (1 + x)^(3/2) = 

(1 + x)^(3/2) * (2*(x + 1)²/7 - 4*(x + 1)/5 + 2/3) = 

(1 + x)^(3/2) * (2x² + 4x + 2)/7 - (4x + 4)/5 + 2/3) = 

1/105* (1 + x)^(3/2) * (30x² + 60x + 30) - 84x - 84 + 70) = 

1/105*(1 + x)^(3/2) * (30x² - 24x + 16) = 

2/105*(1 + x)^(3/2) * (15x² - 12x + 8) 

∫ x² * √(1 + x) dx = 2/105*(1 + x)^(3/2) * (15x² - 12x + 8)  + C