Question

mostre que o resto da divisão de p(x)=x elevado a 100+x+1 por b(x)=x elevado a 2 -1 é r(x)=x+2

Answer 1

Sabemos que o grau do polinômio Resto é sempre pelo menos uma unidade menor que o grau do polinômio divisor.
Como nosso divisor é dado por $x^{2} - 1$ que tem grau 2, nosso resto terá no máximo grau 1, ou seja pode ser escrito da seguinte forma: $r(x) = ax + b$

Pelo teorema fundamental da aritmética temos:
$p(x)=b(x).q(x) + r(x)$ onde q(x) é o polinômio quociente da divisão.

Agora note que: b(1) = b(-1) = 0, logo:
$p(1) = q(1).b(1) + r(1) = r(1)$
e
$p(-1) = q(-1).b(-1) + r(-1) = r(-1)$

Assim chegamos às seguintes equações:
$p(1) = 3 = a + b$
$p(-1) = 1 = -a + b$

Resolvendo esse sistema vemos que:
b = 2 e a = 1.

Logo o polinômio Resto será dado por: $r(x) = x + 2$ como queríamos demonstrar.