Question

Considere y = f(x) uma função real, de variável real, derivável até segunda ordem e tal que f ' '(x)+f(x) = 0, para qualquer x pertencente a R. Se g(x) = f ' (x)senx - f(x)cosx + cos²x, então:
a) g(x) = (sen2x)/2 + C
b) g(x) = C
c) g(x) (cos2x)/2
d) g(x) = 2f(x) -(cos2x)/2 + C
e) g(x) = senx + cos²x + C
Obrigada a quem ajudar.

Answer 1

Se f''(x) + f(x) = => f(x) = -f"(x)
Se f(x) = senx => f'(x) = cosx => f"(x) = -senx, onde se verifica f(x) = -f"(x)

g(x) = f'(x).senx -f(x).cosx + cos²x
g(x) = cosx.senx - senx,cosx + cos²x
g(x) = senx.cosx - senx.cosx + cos²x
g(x) = cos²x
g(x) = (1+cos2x)/2

Se os dados do exercícios estiverem corretos, foi o que encontrei. Não vejo identidade com as respostas.

Answer 2

$f''(x)+f(x)=0$


Esta é uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem, linear, homogênea e a coeficientes constantes.


Então, temos o polinômio característico para esta equação:

$\lambda^{2}+1=0\\ \\ \lambda^{2}=-1\\ \\ \lambda=0\pm i$


Ora, como as raízes do polinômio característico são complexas conjugadas, temos que a solução para a equação homogênea é da forma

$\boxed{\begin{array}{c} f(x)=C_{1}\cos(x)+C_{2}\,\mathrm{sen}(x),\;\;\;C_{1},\,C_{2}\in \mathbb{R} \end{array}}$


$\bullet\;\;$ A primeira derivada de $f$ é

$f'(x)=-C_{1}\,\mathrm{sen\,}(x)+C_{2}\cos(x)$


$\bullet\;\;$ Encontrando a função $g(x):$

$g(x)=f'(x)\,\mathrm{sen}(x)-f(x)\cos(x)+\cos^{2}(x)\\ \\ \\ g(x)=\left[-C_{1}\,\mathrm{sen\,}(x)+C_{2}\cos(x)\right]\cdot \mathrm{sen}(x)\\\\-\left[C_{1}\cos(x)+C_{2}\,\mathrm{sen}(x) \right ]\cdot \cos(x)+\cos^{2}(x)\\ \\ \\ g(x)=-C_{1}\,\mathrm{sen^{2}}(x)+C_{2}\cos(x)\,\mathrm{sen}(x)\\ \\-C_{1}\cos^{2}(x)-C_{2}\,\mathrm{sen}(x)\cos(x)+\cos^{2}(x)\\ \\ \\ g(x)=-C_{1}\left[\mathrm{sen^{2}\,}(x)+\cos^{2}(x) \right ]+\cos^{2}(x)\\ \\ g(x)=-C_{1}+\cos^{2}(x)\\ \\ g(x)=-C_{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos(2x)}{2}\\ \\ \\ g(x)=C+\dfrac{\cos(2x)}{2},\;\;\;\;C\in\mathbb{R}$


A única opção seria a alternativa $\text{c},$ fazendo a constante $C=0$ na igualdade acima.