Question

Calcule o ângulo entre o vetor = (2, −3,1) e cada um dos eixos coordenados.

Answer 1

Boa noite!

Podemos usar produto interno para o cálculo.
$\vec{a}\cdot\vec{b}=||\vec{a}||\;||\vec{b}||\cos(\theta)$
Onde $\theta$ é o ângulo entre os dois vetores, $||\vec{a}||$ é a norma do vetor a e $||\vec{b}||$ é a norma do vetor b.

Calculando os ângulos:
Com o eixo das abscissas(x):
$\vec{i}\cdot(2,-3,1)=||\vec{i}||\;||(2,-3,1)||\cos(\alpha)\\\cos(\alpha)=\frac{2}{\sqrt{2^2+3^2+1^2}}\\\boxed{\boxed{\alpha\approx{57,69^\circ}}}$

Com o eixo das ordenadas(y):
$\vec{j}\cdot(2,-3,1)=||\vec{j}||\;||(2,-3,1)||\cos(\beta)\\\cos(\beta)=\frac{-3}{\sqrt{2^2+3^2+1^2}}\\\boxed{\boxed{\beta\approx{143,30^\circ}}}$

Com o eixo das cotas(z):
$\vec{k}\cdot(2,-3,1)=||\vec{k}||\;||(2,-3,1)||\cos(\gamma)\\\cos(\gamma)=\frac{1}{\sqrt{2^2+3^2+1^2}}\\\boxed{\boxed{\gamma\approx{74,50^\circ}}}$

Uma propriedade interessante destes ângulos é que:
$\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)=1$

Espero ter ajudado!