Question

Uma partícula está animada de um movimento tal que, no instante t, ela se encontra no ponto

(x, y) = ( 1 + 2cost, 2 + 2sent)

a)Descreva sua trajetória
(Não é necessário me passar a resolução da letra "a")
b)Verifique que sua velocidade no instante t é

v(t) = (-2sent, 2cost).


Preciso da resolução da letra "b" por derivadas e por vetores, mas principalmente por vetores!

Answer 1

A curva que descreve a trajetória da partícula é dada pelas equações paramétricas:

$\gamma:\,\left\{ \begin{array}{c} x(t)=1+2\cos t\\ y(t)=2+2\,\mathrm{sen\,}t \end{array} \right.\;\;\;\;\;t\in\mathbb{R}$


a) Isolando $\cos t$ e $\mathrm{sen\,} t$ nas equações paramétricas, obtemos

$\cos t=\dfrac{x-1}{2}\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}t=\dfrac{y-2}{2}$


Pela relação trigonométrica fundamental, temos

$\cos^{2}t+\mathrm{sen^{2}\,}t=1\\ \\ \left(\dfrac{x-1}{2} \right )^{2}+\left(\dfrac{y-2}{2} \right )^{2}=1\\ \\ \\ \dfrac{(x-1)^{2}}{4}+\dfrac{(y-2)^{2}}{4}=1\\ \\ \\ (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4$


A trajetória é uma circunferência de centro no ponto $(1,\,2)$ e raio $2,$ percorrida no sentido anti-horário.


b) O vetor velocidade de uma curva parametrizada é obtido derivando as componentes da curva:

$\vec{\mathbf{v}}(t)=\gamma'(t)=\left(\frac{dx}{dt}(t),\,\frac{dy}{dt}(t)\right)\\ \\ \vec{\mathbf{v}}(t)=\left(\frac{d}{dt}(1+2\cos t),\,\frac{d}{dt}(2+2\,\mathrm{sen\,}t)\right)\\ \\ \vec{\mathbf{v}}(t)=\left(-2\,\mathrm{sen\,}t,\,2\cos t\right)$