Question

Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
ty' + (t + 1)y = t, y(ln 2) = 1, t > 0

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos encontrar a solução do seguinte problema de valor inicial: $ty'+(t+1)y=t,~y(\ln2)=1,~t>0$.

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $t$

$y'+\dfrac{t+1}{t}y=1$

Esta é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem, também chamada de equação de Bernoulli, de forma: $y'+P(x)y=Q(x)y^n$, com $n=0$.

Suas soluções são calculadas pela fórmula: $y=\dfrac{\displaystyle{\int \bold{F.~I}\cdot Q(x)\,dx}}{\bold{F.~I}}$, em que $\bold{F.~I}=e^{\int P(x)\,dx}}$ é o fator integrante.

Substituindo $P(t)=\dfrac{t+1}{t}$, calculamos o fator integrante:

$e^{\int \biggr{\frac{t+1}{t}}\,dt}$

Calcule a integral, sabendo que:

• A fração $\dfrac{t+1}{t}=1+\dfrac{1}{t}$.
• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$ é um caso particular da regra acima.

$e^{\int1+\biggr{\frac{1}{t}}\,dt}\\\\\\ e^{t+\ln|t|}$

Reescreva $t=\ln(e^t)$ e aplique a regra de logaritmos: $\ln(a)+\ln(b)=\ln(a\cdot b),~a,~b>0$.

$e^{\ln|e^t|+\ln|t|}\\\\\\ e^{\ln|t\cdot e^t|}$

Aplique a regra de logaritmos: $a^{\log_a(b)}=b,~1\neq a,~b>0$

$\bold{F.~I}=t\cdot e^t$

Substitua este resultado e $Q(t)=1$ na fórmula resolutiva:

$y=\dfrac{\displaystyle{\int t\cdot e^t\cdot 1\,dt}}{t\cdot e^t}\\\\\\ y=\dfrac{\displaystyle{\int t\cdot e^t\,dt}}{t\cdot e^t}$

Calcule a integral, utilizando a técnica de integração por partes

$y(t)=\dfrac{e^t\cdot(t-1)+C}{t\cdot e^t}$

Utilizando a condição inicial $y(\ln2)=1$, calculamos o valor da constante $C$

$y(\ln2)=\dfrac{e^{\ln2}\cdot(\ln2-1)+C}{\ln2\cdot e^{\ln2}}\\\\\\ 1=\dfrac{2\cdot(\ln2-1)+C}{2\ln2}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $2\ln2$ e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$2\ln2=2\ln2-2+C$

Subtraia $2\ln2-2$ em ambos os lados da igualdade

$C=2$

Desta forma, conclui-se que a solução geral deste problema de valor inicial é a função: $y(t)=\dfrac{e^t\cdot(t-1)+2}{t\cdot e^t}~~\checkmark$.