Question

3) quais dos itens a seguir correspondem a raizes do polinomio p(x)=x∧6+3x∧5-11x∧4 -15∧3+46x∧2-24x?
a)-3
b)5 g)-4
c)0 h)2
d)6
e)4
f)1

Answer 1

Você pode substituir x por cada um destes valores e fazer contas enormes. Se der zero no final, é porque o tal nº é raiz do polinômio dado.

Um outro modo é usar Briot-Ruffini. É o que vou fazer.

-3   |   1      3      -11      -15      46      -24
      |   1      0      -11        18      -8         0

Estes dois tracinhos verticais, na realidade, é um único traço vertical.

Depois do traço vertical, os números da 1ª linha são os coeficientes do polinômio e os da 2ª, são obtidos assim:
-abaixa-se o 1º coeficiente, no caso, 1;
-multiplica-se esse nº pela raiz, soma-se com o próximo coeficiente e coloca-se o resultado abaixo dele (1.(-3) + 3 = -3 + 3 = 0)
-multiplica-se o resultado obtido pela raiz, soma-se com o próximo coeficiente e coloca-se o resultado abaixo dele (0.(-3) + (-11) = 0 - 11 = -11)
-segue-se assim até o fim;
-o último nº obtido é o resto da divisão e, se for zero, isto é, divisão exata, significa que o nº, no caso, -3, é raiz do polinômio.

Cada vez que usamos Briot-Ruffini, os números obtidos na linha de baixo, exceto o último, são os coeficientes do quociente (resultado da divisão)

Então, agora, temos x elevado a 5 - 11x³ + 18x² - 8

Para verificar as outra raízes, podemos repetir o processo usando o polinômio dado, ou esse novo polinômio obtido. Vou usar esse novo obtido (dá menos trabalho).

5   |   1      0      -11      18      -8
     |   1      5       14      88      432

Como o resto não é zero (é 432), então 5 não é raiz.

6   |   1      0      -11      18      -8
     |   1      6      25       168     1000

6 não é raiz

4   |   1      0      -11      18      -8
     |   1      4        5       38      144

4 não é raiz

1   |   1      0      -11      18      -8
     |   1      1      -10       8        0

1 é raiz

Agora já temos um polinômio de grau menor:
x elevado a 4 + x³ - 10x² + 8x . Vou usá-lo para continuar.

-4   |   1      1      -10      8
      |   1     -3         2      0

-4 é raiz

Agora temos outro polinômio de grau menor: x³ -3x² + 2x

Podemos continuar, agora com esse polinômio, e testar o 2. Zero é imediato que é raiz, pois, substituindo x por zero, dá zero, sem problemas com contas.

Mas, vou fazer diferente e obter informações mais precisas. Igualando esse polinômio a zero, temos uma equação que, apesar de ser do 3º grau, é bem simples de ser resolvida.

x³ - 3x² + 2x = 0 ⇒ x(x² - 3x + 2) = 0 ⇒ x = 0 (aqui temos uma raiz que é zero)

ou    x² - 3x + 2 = 0 (aqui temos uma equação do 2º grau - vamos resolvê-la)

Δ = b² - 4ac
Δ (-3)² - 4.1.2 = 9 - 8 = 1
x = (-b +- √Δ) / 2a
x = (-(-3) +- √1) / 2.1 = (3 +- 1) / 2
x' = (3 - 1) / 2 = 2/2 = 1
x" = (3 + 1) / 2 = 4/2 = 2
Acabamos de encontrar mais duas raízes: 1 e 2

Como 1 nós já tínhamos, concluímos que 1 é raiz dupla do polinômio dado.

Então já temos todas a raízes do polinômio dado: -4, -3, 0, 1 e 2. Lembrando que 1 é raiz dupla, temos as 6 raízes desse polinômio, pois ele é do 6º grau.

Portanto, os itens que correspondem a raízes de P(x) são: a, c, f, g, h.

Answer 2

Resposta:

resposta correta é a letra: a,c,f,g e h.