Question

Da pergunta e resolução em anexo, a resposta está correta?

Answer 1

A sequência é monótona, mas não entendi muito bem o motivo daquela raiz ser maior que 1. De qualquer forma, vou deixar aqui como eu mostraria que a sequência é monótona (indução)

Quero mostrar que $a_{n+1}\ge a_{n}~~~\forall~n\ge1$

Verificando se vale para n = 1:

$\sqrt{2}\ge0~~~\therefore~~~2+\sqrt{2}\ge2~~~\therefore~~~\sqrt{2+\sqrt{2}}\ge\sqrt{2}~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{a_{2}\ge a_{1}}}$

Assumindo, por hipótese, que vale para n = k:

$\boxed{\boxed{a_{k+1}\ge a_{k}}}$

Se, a partir da hipótese, conseguirmos mostrar que vale para n = k + 1, ou seja, que $a_{k+2}\ge a_{k+1}$, então fica mostrado que $a_{n+1}\ge a_{n}$ para todo n ≥ 1

$a_{k+1}\ge a_{k}\\\\2+a_{k+1}\ge2+a_{k}\\\\\sqrt{2+a_{k+1}}\ge\sqrt{2+a_{k}}$

Note que $\sqrt{2+a_{k+1}}=a_{k+2}~~~e~~~\sqrt{2+a_{k}}=a_{k+1}$, logo:

$a_{k+2}\ge a_{k+1}$

Portanto, pelo princípio da indução, a propriedade vale para todo n (inteiro) maior ou igual a 1, logo, a sequência é monótona.
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Na parte da limitação da sequência, faltou mostrar que ela é limitada superiormente, pois uma sequência é limitada se é limitada superior e inferiormente

Vamos mostrar que $a_{n}\le2~~~\forall~n\ge1$, usando, novamente, indução matemática

Isso vale para n = 1, pois

$2\le4~~~\therefore~~~\sqrt{2}\le\sqrt{4}~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{a_{1}=\sqrt{2}\le2}}$

Assumindo que vale para n = k:

$a_{k}\le2$

Vamos motrar que vale para n = k + 1:

$a_{k}\le2\\\\2+a_{k}\le4\\\\\sqrt{2+a_{k}}\le\sqrt{4}=2$

Como $\sqrt{2+a_{k}}=a_{k+1}$, então

$a_{k+1}\le2$

Portanto, pelo princípio de indução, $a_{n}\le2~~~\forall~n\ge1$
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O limite da sequência está correto, ela converge para 2