Question

(30 PONTOS) Considere $b_{n}$ uma sequência numérica, tal que

$b_{n}=a_{n+1}-a_{n},\;\;\;\;n \in \mathbb{N}$

isto é, $b_{n}$ pode ser expressa como a diferença entre termos consecutivos de uma outra sequência $a_{n}.$

Considere também os naturais $N_{0}$ e $N,$ com $N_{0}\leq N.$

Nestas condições, mostre que

$\displaystyle\sum\limits_{n=N_{0}}^{N}{b_{n}}=\sum\limits_{n=N_{0}}^{N}{(a_{n+1}-a_{n})}=a_{(N+1)}-a_{N_{0}}.$

Answer 1

Sabendo que $b_{n}$ pode ser expressa como a diferença entre termos consecutivos da sequência $a_{n}$, ou seja, que

$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}~~~~\forall~n\ge1$

Temos que

$\displaystyle\sum\limits_{n=N_{0}}^{N}b_{n}=\sum\limits_{n=N_{0}}^{N}(a_{n+1}-a_{n})\\\\\\\sum\limits_{n=N_{0}}^{N}b_{n}=\sum\limits_{n=N_{0}}^{N}a_{n+1}-\sum\limits_{n=N_{0}}^{N}a_{n}$

Se expandirmos os somatórios, teremos:

$\displaystyle\sum\limits_{n=N_{0}}^{N}b_{n}=\sum\limits_{n=N_{0}}^{N}a_{n+1}-\sum\limits_{n=N_{0}}^{N}a_{n}\\\\\\=(a_{N_{0}+1}+a_{N_{0}+2}+...+a_{N}+a_{N+1})-(a_{N_{0}}+a_{N_{0}+1}+...+a_{N})\\\\=-a_{N_{0}}+(a_{N_{0}+1}-a_{N_{0}+1})+(a_{N_{0}+2}-a_{N_{0}+2})+...+(a_{N}-a_{N})+a_{N+1}\\\\=-a_{N_{0}}+0+0+0+....+0+a_{N+1}\\\\\\\boxed{\boxed{\displaystyle\sum\limits_{n=N_{0}}^{N}b_{n}=a_{N+1}-a_{N_{0}}}}$