Question

dados os pontos A=(2,3) e B=(5.4), determine um ponto C tal que o vetor AC seja paralelo ao vetor u(2,1) e ||vetorAC|| = ||vetorAB||

Answer 1

Bom dia!

Primeiramente, iremos achar o "vetorAB"

vetorAB = B - A
vetorAB = (5,4) - (2,3)
vetorAB = (5-2,4-3)
vetorAB = (3,1)

Agora vamos achar o vetorAC

vetorAC = C - A
vetorAC = (x,y) - (2,3)
vetorAC = (x - 2, y - 3)

IvetorACI = IVetorABI

IvetorACI = √2² + 1²
IvetorACI = √4 + 1
IvetorACI = √5

Como o vetorAC é // ao VetorU. Entao o vetorAB é proporcional ao vetorAC.

vetorAC = K*vetorU
vetorAC = K*(2,1)
vetorAC = (2k, 1k)

Podemos entao substituir, o vetorAC pelo modulo do VetorAB aplicanto o modulo dos dois lados da equação!

IvetorACI = Ik*vetorUI
√5 = √(2k)² + k²
√5 = √4k² + k²
√5 = √5k²
5 = 5k²
5k² = 5
k² = 1
k = +/- 1
Mas iremos pegar, apenas o valor "-1"

vetorAC = K*(vetorU)
vetorAC = -1*(2,1)
vetorAc = (-2,-1)

Agora vamos achar o ponto "C"
VetorAC = C - A
(-2,-1) = C - (2, 3)
C = (-2,-1) + (2, 3)
C = (-2 + 2, -1 + 3)
C = (0, 2)

Answer 2

Resposta:

C = (2+2.$\sqrt{2}$ , 3+$\sqrt{2}$) = (2-2.$\sqrt{2}$ , 3-$\sqrt{2}$)

Explicação:

Dados:

A = (2,3)              

B = (5,4)

C = (X,Y)

u = (2,1)

AC / u

|AC| = |AB|

1° Encontrar o vetor AC e AB:

AC = C - A              |       AB = B - A

AC = (x,y) - (2,3)     |       AB = (5,4)-(2,3)

AC = (x-2 , y-3)       |      AB = (3,1)

2° Sabemos que o vetor AC é paralelo ao vetor u, logo:

AC = β.u

AC = β. (2,1)

AC = (2.β , β)

3° Sabemos que |AC| = |AB|, logo:

√(2.β)² + (β)² = √(3)² + (1)²

Eliminando as raízes

(2.β)² + (β)² = (3)² + (1)²

4.β² + β² = 10

5.β² = 10

β² = 2

β = + ou - √2

Logo, voltando ao 2° passo:

AC = (2.√2 , √2) = (-2.√2 , -√2)

4° Descobrimos (no 1° passo e 3°passo)  que AC = (x-2 , y-3) = (2.√2 , √2) = (-2.√2 , -√2), assim:

(x-2 , y-3) = (2.√2 , √2)              ou           (x-2 , y-3) = (-2.√2 , -√2)

x - 2 = 2.√2 e y - 3 = √2            ou           x - 2 = -2.√2 e y - 3 = -√2

x = 2 + 2.√2 e y = 3 + √2          ou            x = 2 - 2.√2 e y = 3 - √2

                   Já sabemos nos dados que C = (x,y), logo:

C = (2 + 2.√2 , 3 + √2)              ou            C = (2 - 2.√2 , 3 - √2)  

                                             

                                              Vlw ... .. .

5° Prova dos 9

                                               |AC| = |AB|

√(2.√2)² + (√2)² = √(3)² + (1)²        ou      √(-2.√2)² + (-√2)² = √(3)² + (1)²

    Eliminando as raízes                                Eliminando as raízes

(2.√2)² + (√2)² = (3)² + (1)²            ou        (-2.√2)² + (-√2)² = (3)² + (1)²

      4 . 2 + 2 = 9 + 1                       ou                 4 . 2 + 2 = 9 + 1  

        8 + 2 = 10                              ou                    8 + 2 = 10  

           10 = 10                                ou                      10 = 10

                                                   Fim... .. .