Question

(30 PONTOS) Obtenha uma forma fechada para a soma $\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{k}{\mathrm{sen\,}n\cdot\cos(n^{2})}$ ----------------------------- Resposta: $\frac{1}{2}\,\mathrm{sen}[k\cdot(k+1)]$

Answer 1

En este caso utilizaremos la siguiente función $f(n)=\sin [n(n-1)]$

Ahora apliquemos la ley telescópica

           $\displaystyle \sum_{n=0}^k\sin[n(n+1)]-\sin[n(n-1)]=\sin[k(k-1)]-\sin[0(0-1)]\\ \\ \\ \sum_{n=0}^k2\sin n\cos n^2=\sin[k(k-1)]\\ \\ \\ 2\sum_{n=0}^k\sin n\cos n^2=\sin[k(k-1)]\\ \\ \\ \boxed{\sum_{n=0}^k\sin n\cos n^2=\frac{1}{2}\sin[k(k-1)]}$