Question

Efetue:
4 + 2√6=
3√3 × 9=
√5 / ∛4=

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para efetuar as operações indicadas em cada expressão, que vamos chamá-las, cada uma de certo "x", apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa:

i)
 
x = 4 + 2√(6) --- Esta expressão poderia  ficar da forma em que está apresentada, a não ser que coloquemos "2" em evidência, pois "2" é um fator comum aos dois termos da expressão.  Assim,  poderíamos apresentar a expressão do item "i" também da seguinte forma:

x = 2*(2 + √6) <--- Esta seria uma outra forma de apresentar a expressão do item "i".

ii)

x = 3√(3) * 9 ------ veja que esta expressão poderá ser reescrita assim:

x = 9*3√(3)
x = 27√(3) <---- Esta é a forma de apresentação da expressão do item "ii".

iii)

x = √(5) / ∛(4) ----  veja: para racionalizar, deveremos multiplicar numerador e denominador por [∛(4)]², pois isto é a mesma coisa que:∛(4²). 
Assim, fazendo isso, ficaremos com:

x = √(5)*∛(4²)  / ∛(4)*∛(4²) ---- note que  ∛(4)*∛(4²) = ∛(4*4²)  = ∛(4³). Assim, ficaremos com:

x = √(5)*∛(4²) / ∛(4³) ---- note que, no denominador, o "4" sairá  de dentro da raiz cúbica, pois ele está elevado ao cubo. Então, ficaremos:

x = √(5)*∛(4²) / 4 ------ como 4² = 16, teremos:
x = √(5)*∛(16) /  4

Note que  não podemos multiplicar radicais de índices diferentes. E agora? Agora, ou deixamos a resposta da forma apresentada logo acima, ou colocaremos os dois radicais do  numerador com um mesmo índice.
E como faremos isso? Simples: encontraremos o mmc entre os dois índices ("2" para a raiz quadrada e "3" para a raiz cúbica. Assim,  mmc entre 2 e 3 = 6).
Uma vez encontrado o novo  índice, colocaremos o índice "6"  em cada radical e procederemos da seguinte forma: dividiremos o novo índice (6) pelo índice anterior (por "2" na raiz quadrada e por "3" na raiz cúbica). O resultado que der colocaremos como expoente  do respectivo radicando. Assim, teremos:

x = ⁶√(5³)*⁶√(16²) / 4 --- como  5³ = 125 e 16² = 256, teremos:

x = ⁶√(125)*⁶√(256) / 4 --- agora, como o índice é o mesmo, então já poderemos efetuar a multiplicação. Logo, ficaremos:

x = ⁶√(125*256) / 4 --- note que 125*256 = 32.000. Logo:

x = ⁶√(32.000) / 4  ------ veja que 32.000 = 2⁸ * 125  =  2⁶*2²*125 = 2⁶*4*125 = 2⁶*500. Assim, ficaremos:

x =  ⁶√(2⁶*500) / 4 --- note que o "2" sairá de dentro da raiz  índice 6, pois ele está elevado à 6ª potência. Assim, ficaremos:

x =   2* ⁶√(500) / 4 --- dividindo-se numerador e denominador por "2" ficaremos apenas com:

x =  ⁶√(500) / 2 <---- Esta é outra forma de apresentar a expressão do item "iii".

As respostas  serão as que demos acima se as expressões estiverem escritas exatamente como consideramos.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.