Question

a soma de 2 logaritmos na base 9 é 1/2. quanto seria a multiplicação desses 2 logaritmando?
atribua x e y para esses logaritmando na base 9.

a)∛9
b)3
c)∛3
d)∛2
e)2

Answer 1

O valor da multiplicação entre os logaritmando é igual a 3, que corresponde à alternativa b) 3.

⠀

Temos que a soma de dois logaritmos, ambos na base 9, é igual a 1/2. Como não sabemos o valor dos logaritmando, vamos adotá-los como x e y. Assim, temos que:

                                    $\\\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}~~\ell og\:\!_9\,(x)+\ell og\:\!_9\,(y)=\dfrac{~1~}{2}\end{array}}$

O objetivo da questão é encontrarmos o produto de x ⋅ y. Para isso vamos utilizar a propriedade operatória (logaritmo do produto) onde o logaritmo do produto de dois fatores é igual à soma de logaritmos de cada fator

• logₙ (a ⋅ b) = logₙ (a) + logₙ (b)

, mas aqui vamos fazer o processo inverso:

$\\\large\begin{array}{l}\implies~~\ell og\:\!_9\,(x)+\ell og\:\!_9\,(y)=\dfrac{~1~}{2}\\\\\iff~\ell og\:\!_9\,(x\cdot y)=\dfrac{~1~}{2}\end{array}$

Agora, pela definição de logaritmo sabemos que logₙ a = b ⇔ a = nᵇ, assim:

$\\\!\!\!\large\begin{array}{l}\iff~\ell og\:\!_9\,(x\cdot y)=\dfrac{~1~}{2}\\\\\iff~(x\cdot y)=9^{1/2}\\\\\iff~x\cdot y=(3^2)^{1/2}\\\\\iff~x\cdot y=3^1\\\\\quad\therefore\quad\!\boldsymbol{\boxed{x\cdot y=3}}\end{array}$

Dessarte, o produto dos logaritmando é igual a 3, correspondendo à alternativa b).

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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Answer 2

⭐ Olá, Boa tarde!

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☯ ➡️ Conteúdo:  

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✈      Logaritmos. ☯ ☕       

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➡️ ⭐▣ O que é um Logaritmo?

$\huge\text{\sf \Rightarrow }$ Logaritmo é uma função matemática, para que possamos começar a aprender logaritmos, deve-se ter um domínio em potenciação e exponenciação. ✍

$\huge\text{\sf \Rightarrow }$ O logaritmo trata-se da operação utilizada para achar o expoente de uma potência quando se conhece sua base.

⚠ Em um logaritmo temos os termos ( a, b, c), onde:

       

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\sf A=Base\\\\\sf B=Logaritmando.\\\\\sf X=Logaritmo.\end{array}}}}$

⚠ Antes de prosseguirmos, temos que saber as condições de existências:

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\sf A=Deve\ ser\ maior\ que\ zero\ (a > 0) &\rm \sf e\ diferente\ de\ um\ (a \neq 1).\\\\\sf B = Deve\ ser\ maior\ que\ zero\ (b > 0).\\\\\sf X=Logaritmo.\end{array}}}}$

⚠ Propriedades dos logaritmos:

➡️ Propriedade I)

$\large\begin{cases}\sf log_a^a=a\\\\\sf log_a^1=0\\\\\sf log_a^b=log_a^c\Leftrightarrow b=c\\\\\sf a^{log_a\ (b)}=b \end{cases}$

➡️ Propriedade II)

$\large\begin{cases} \sf log_a (m \cdot n) = log_a(m) + log_a(n)\\\\ \sf log_a (\frac{m}{n} ) = log_a(m) - log_a(n)\\\\ \sf log_a (b^n) = n\cdot log_a(b)\\\\ \sf log_a (b)= x \Leftrightarrow a^x = b \end{cases}$

➡️ Obs: Sempre que precisar, pode aplicar o inverso da propriedade.

Exemplo:

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$\large\text{ \sf \sf log_a (\frac{m}{n} ) = log_a(m) - log_a(n) }$

$\large\text{\sf = \sf log_a(m) - log_a(n)=log_a (\frac{m}{n} ) }$

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✈     Agora, vamos resolver seu  

✈    logaritmo. ✍ ☕

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 $\large\boxed{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\sf2\ Log_{9}\ \frac{1}{2}=x\end{array}}}}$

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\sf Log_9(x\cdot y)=\dfrac{1}{2}\\\\\sf(x\cdot y)=9^\frac{1}{2}\\\\\sf x\cdot y=(3^2)^\frac{1}{2}\\\\\sf x\cdot y=3^1\\\\\sf Portanto\therefore\boxed{\sf x\cdot y= 3}\end{array}}}}$

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⭐Espero ter ajudado! :)

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