Question

Determine a medida do ângulo do setor circular correspondente à superfície lateral de um cone de altura 8 e base de raio 6.
Alternativas:
a.325º

b.148º

c.216º

d.36º

e.196º

Answer 1

Resposta:

Utilizando as formulações geometricas de cones, temos que:

Área lateral: A=12\piA=12π

Área da Base: A=4\piA=4π

Área total: A=16\piA=16π

Volume: V=\frac{16}{3}\pi\sqrt{2}V=

3

16

π

2

Explicação passo-a-passo:

Como o cone aberto já é a área lateral, então basta encontrarmos a área desta seção de circulo, usando a formula:

A=R^2.\frac{\theta}{2}A=R

2

.

2

θ

Onde R é o raio e Ф é o angulo em radianos, neste caso 120º em radianos é 2π/3, então a área fica:

A=6^2.\frac{\pi}{3}A=6

2

.

3

π

A=12\piA=12π

Agora vamos encontrar a circunferência da base para encontrarmos a base. Note que o comprimento de circunferencia é dado pela formula:

C=\theta.RC=θ.R

No nosso caso novamente:

C=\frac{2\pi}{3}.6C=

3

2π

.6

C=4\piC=4π

A circunferência do setor circular aberto mede 4π, mas quando ele fechar o cone inteiro, então este comprimento vira a circunferência da base, então temos que:

C=2\pi.RC=2π.R

E como já sabemos o valor da circunferência:

4\pi=2\pi.R4π=2π.R

R=2R=2

Temos então que o raio da base mede 2, assim podemos encontrar sua área que é dada por:

A=\pi.R^2A=π.R

2

A=\pi.2^2A=π.2

2

A=4\piA=4π

Agora já temos também a área da base. Para encontrarmos altura basta utilizarmos pitagoras agora, pois o raio da base o raio da seção e a altura formam um triangulo retangulo de acordo com a figura:

6^2=h^2+2^26

2

=h

2

+2

2

h^2=36-4h

2

=36−4

h=\sqrt{32}h=

32

h=4\sqrt{2}h=4

2

Então com a altura consigos achar o volume pela formula:

V=\frac{1}{3}A_b.hV=

3

1

A

b

.h

V=\frac{1}{3}4\pi.4\sqrt{2}V=

3

1

4π.4

2

V=\frac{16}{3}\pi\sqrt{2}V=

3

16

π

2

Então agora temos as coisas pedidas:

Área lateral: A=12\piA=12π

Área da Base: A=4\piA=4π

Área total: A=16\piA=16π

Volume: V=\frac{16}{3}\pi\sqrt{2}V=

3

16

π

2