Question

Como calculo ∫CF⋅dr, em que F(x,y,z)=xzi+xj+yzk e C é o caminho poligonal passando por A(0,0,1), B(1,1,0) e D(2,2,2). Agradeço desde já.

Answer 1

A integral de linha do campo vetorial é

                                        $\Large\displaystyle\begin{aligned}\tau_c = \int_{\gamma} \vec{F}\cdot d\vec{r} = 7\end{aligned}$

Primeiramente, vamos lembrar como calcular a integral de linha de um campo vetorial F sobre uma curva γ qualquer, e depois, relacionar isso com a teoria dos campos vetoriais conservativos, podemos calcular uma integral de linha um campo vetorial sobre uma curva γ como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_\gamma \vec{F}\cdot\,d\vec{r} = \int \left\langle \vec{F}(\gamma(t)), \gamma'(t) \right\rangle\, dt = \int P\,dx + Q\,dy + R\,dz\\ \\\end{gathered}$

São todas formas equivalentes de se resolver, onde temos que:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}&P = \vec{F} \text{ na dire\c c\~ao \vec{\imath} } \quad &dx = \gamma'(t)\text{ na dire\c c\~ao \vec{\imath} }\\ \\&Q = \vec{F} \text{ na dire\c c\~ao \vec{\jmath} } \quad &dy = \gamma'(t)\text{ na dire\c c\~ao \vec{\jmath} }\\ \\&R = \vec{F} \text{ na dire\c c\~ao \vec{k} }\quad &dz = \gamma'(t)\text{ na dire\c c\~ao \vec{k} }\\ \\\end{aligned} }$

Dito isso, agora vamos lembrar algumas propriedades dos campos vetoriais consevativos, se o campo vetorial é conservativo temos que:

 $\Large\displaystyle\begin{aligned}\oint_\gamma \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0 \Leftrightarrow \vec{\nabla}\phi = \vec{F} \Leftrightarrow \int_\gamma \vec{F}\cdot d\vec{r} = \phi(\gamma(b)) - \phi(\gamma(a))\end{aligned}$

Onde φ denota o potencial de F, resumindo, se o campo é conservativo temos que a integral não depende do caminho, apenas do ponto inicial e final como está ilustrado na relação mais a direita, isso significa que existe uma função potencial φ, que o gradiente de φ é o campo F, e sobre uma curva fechada o resultado da integral é sempre 0.

Se um campo é conservativo, seu rotacional é necessariamente nulo, porém, rotacional nulo não implica campo conservativo.                                

Então vamos fazer o teste do rotacional de F para ver se ele é conservativo, portanto:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\nabla \times \vec{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{\imath}\right)+ \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{\jmath}\right) + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}\right)\end{aligned}$

Como temos que o nosso campo F é dado por:

                              $\Large\displaystyle\begin{aligned}F(x, y, z) = xz \vec{\imath} + x \vec{\jmath} + yz \vec{k}\end{aligned}$

Verificamos que nosso rotacional é:

                               $\Large\displaystyle\begin{aligned}\nabla \times \vec{F} = z\vec{\imath} + x\vec{\jmath} + \vec{k} \ne 0_{V}\end{aligned}$

Como o rotacional é diferente de 0, nosso campo não é conservativo! Portanto vamos fazer o caminho A → B e depois de B → D, pois os pontos não são colineares, então parametrizando duas curvas, γ₁ e γ₂, a primeira para o caminho  A → B e a segunda para B → D i.e:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\gamma_1(t) = A +t\overrightarrow{AB} \Rightarrow (0,0,1) + t(1, 1, -1), \ 0\leq t \leq 1\\ \\\gamma_1(t) = (t, t, -t+1)\quad \ 0\leq t \leq 1\\ \\\end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\gamma_2(t) = B +t\overrightarrow{BD} \Rightarrow (1,1,0) + t(1, 1, 2), \ 0\leq t \leq 1\\ \\\gamma_2(t) = (t+1, t+1, 2t) \quad 0\leq t \leq 1\end{gathered}$

Irei chamar aqui o resultado da integral de trabalho pelo caminho C, portanto o trabalho pelo caminho C é dado pelas duas integrais:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\tau_c = \int_{\gamma_{1}} \left\langle\vec{F}(\gamma_1(t)), \gamma_{1}'(t)\right\rangle\, dt + \int_{\gamma_{2}} \left\langle\vec{F}(\gamma_2(t)), \gamma_{2}'(t)\right\rangle\, dt \end{aligned} }$

Derivando as curvas temos:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&\gamma_{1}'(t) = (1, 1, -1)\\ \\&\gamma_{2}'(t) = (1, 1, 2)\\ \\\end{aligned}$

Agora colocando o campo F em função das nossas curvas gamma temos:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&\vec{F}(\gamma_{1}(t)) = (-t^2+t, \ t, \ -t^2+t)\\ \\&\vec{F}(\gamma_{2}(t)) = (2t^2+2t, \ t+1, \ 2t^2+2t)\\ \\\end{aligned}$

E calculando o produto interno entre temos que:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&\left\langle\vec{F}(\gamma_1(t)), \gamma_{1}'(t)\right\rangle = t\\ \\&\left\langle\vec{F}(\gamma_2(t)), \gamma_{2}'(t)\right\rangle = 6t^2+7t+1\\ \\\end{aligned}$

Portanto nossas integrais são:

                        $\Large\displaystyle\begin{aligned}\tau_c = \int_0^1 t\, dt + \int_0^1 6t^2+7t+1\, dt \end{aligned}$

Que são todas integrais imediatas, resultando em:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tau_c = \frac{t^2}{2}\bigg|_{0}^{1}+ 2t^3\bigg|_{0}^{1}+\frac{7t^2}{2}\bigg|_{0}^{1}+1\\ \\\tau_c = 7\end{gathered}$

Espero ter ajudado

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