Question

URGÊNTE

Suponha que o percentual de álcool no sangue de uma pessoa, t horas após o seu consumo, seja dado por Q(t) = 0,2⋅t ⋅e−0,5t.
a) Qual é o nível máximo de álcool no sangue dessa pessoa? Quando ele ocorre?
b) Quanto tempo leva para o nível de álcool no sangue dessa pessoa ser 30% do nível máximo?

Answer 1

a) No ponto máximo ou mínimo de uma função, a taxa de variação dessa função é nula, ou seja, a derivada neste ponto é 0. Desta forma, temos de achar a derivada e igualá-la a zero:

$Q(t)= 0.2\ t \ e^{-0.5\ t}$

$Q'(t)=(0.2\ t \ e^{-0.5\ t})'$

$Q'(t)=0.2\ t\ (e^{-0.5\ t})'+0.2\ t'\ e^{-0.5\ t}$

$Q'(t)=0.2\ t\ (-0.5)\ e^{-0.5\ t}+0.2\ e^{-0.5\ t}$

$Q'(t)=0.2(-0.5\ t+1)\ e^{-0.5\ t}$

$0.2(-0.5\ t+1)\ e^{-0.5\ t}=0\\-0.5\ t+1=0\\-0.5\ t =-1\\t=2$

Agora, falta obter o valor em t=2:

$Q(2)=0.2\times 2\times e^{-0.5\times 2}\\=0.4\times e^{-1}$

Resposta: O valor máximo é cerca de 14,7% e ocorre após 2 horas.

b) *Obs: Acredito que o único de jeito de obter o tempo exato seja por meio de uma calculadora, visto que a função é não elementar. Portanto, usei o Wolfram Alpha com o seguinte argumento:

$0.2\ t\ e^{-0.5\ t}=(0.3)\times (0.4\ e^{-1})$

Resultado: t≅0.25 horas = 15 min

Resposta: Cerca de 15 minutos.

Caso tenha alguma dúvida, pode me chamar nos comentários. Bons estudos ^~