Question

Numa circunferência de centro 0 e raio 4, é traçada uma corda AB. Se a menor distancia do centro à corda é igual à 2, qual é a medida do angulo AôB? Alguém me ajuda?

Answer 1

i) Olhe a figura. Note que o triângulo AOB é isósceles, portanto $O\^BA=\alpha$. Note, ainda, que o triângulo AOP é retângulo, por conta do que ele falou sobre "menor distância".
Portanto, para encontrarmos a medida de AÔB precisamos saber apenas a medida de α, já que:

$\alpha+\alpha+A\^OB=180\Rightarrow \boxed{A\^OB=180-2\alpha}$

ii) Das relações trigonométricas temos que:

$\mathrm{sen}\alpha=\frac{CO}{H}$

onde CO é a medida do cateto oposto e H é a medida da hipotenusa. O triângulo AOP é retângulo, portanto podemos calcular a medida de α se soubermos seu seno. Nesse triângulo temos que CO=2 e H=4, daí:

$\mathrm{sen}\alpha=\frac{2}{4}\Rightarrow\mathrm{sen}\alpha=\frac12\Rightarrow\boxed{\alpha=30^{\mathrm{o}}}$

iii) Agora que temos o valor de α temos apenas que calcular o valor do ângulo que queremos:

$A\^OB=180-2\alpha\Rightarrow A\^OB=180-2.30 \Rightarrow A\^OB=180-60 \\ \\ \boxed{\boxed{A\^OB=120^{\mathrm{o}}}}$