Question

aplicando o padrao de gauss ,a soma dos numeros naturais de 1 ate 31 e igual a mult.de 32 (ou seja ,3+1)por qual numero

Answer 1

Seja $S$ a soma procurada:

$S=1+2+3+\ldots +29+30+31\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Podemos reescrever a soma $S$ também da seguinte maneira:

$S=31+30+29+\ldots+3+2+1\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


Somando as equações $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)},$ temos

$S+S=(1+31)+(2+30)+(3+29)+\ldots+(29+3)+(30+2)+(31+1)\\ \\ \\ 2S=\underbrace{32+32+32+\ldots+32+32+32}_{31\text{ parcelas}}\\ \\ \\ 2S=31\times 32\\ \\ \\ S=\dfrac{31}{2}\times 32\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{ccc}\\ &1+2+3+\ldots+29+30+31=\dfrac{31}{2}\times 32&\\ \\ \end{array}}$


O número procurado é $\dfrac{31}{2}.$