Question

Prove que, se a soma de dois números positivos é constante, seu produto é o maior possível (máximo) quando eles são iguais. (OBS. Deixe a demonstração matemática clara e completa).

Answer 1

Sejam a e b os números. Devemos mostrar que a = b
a + b = k => b = k - a
p = ab => p =a(k - a) => p = -a² + ka
O produto p é máximo e av = -B/2A
a = -k/(-2) => a = k/2 mas,
b = k - a => b = k - k/2 => b = (2k - k)/2 => b = k/2
Como a = k/2 e b = k/2, concluímos que a = b

Answer 2

✅ Após terminado a demonstração, concluímos que os número são:

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Iguais\:\:\:}}\end{gathered} }$

Para começar vou afirmar que o conjunto universo será os reais, ou seja:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \cup = \mathbb{R}\end{gathered}$

Sejam os números:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}m,\:n\in\mathbb{R} \end{gathered}$

Para que o produto de dois números "m" e "n" - cuja soma é constante - venha ser o maior possível (máximo) devemos provar que:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}m = n \end{gathered}$

Se a soma entre "m" e "n" é uma constante "k", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$                $\Large\displaystyle\begin{gathered}m + n = k \end{gathered}$

Dessa forma, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$              $\Large\displaystyle\begin{gathered}n = k - m \end{gathered}$

Sabendo que o produto entre estes números é "p", então, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(III) \end{gathered}$               $\Large\displaystyle\begin{gathered} m\cdot n = p\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}m(k - m) = p \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}mk - m^{2} = p \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(IV) \end{gathered}$   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underbrace{-m^{2} + km}_{\bf2^{\underline{o}}\:grau}= p\end{gathered} }$

Observe que o primeiro membro da equação "IV" é uma equação do segundo grau, cujos coeficientes são:

                     $\Large\begin{cases}a = -1\\ b = k\\ c = 0\end{cases}$

Observe também que o coeficiente de "a" é negativo, ou seja:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}a < 0 \end{gathered}$

Se:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered}a < 0\:\:\:\Longrightarrow\:\:\:Concavidade\:\cap \end{gathered}$

Desta forma, o vértice da parábola é o ponto de máximo e, portanto, o produto "p" é máximo. Nestas condições temos a seguinte fórmula para a abscissa do vértice, que é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(V) \end{gathered}$             $\Large\displaystyle\begin{gathered}m_{V} = -\frac{b}{2a} \end{gathered}$

Se:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}m_{V} = m \end{gathered}$

Então:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(VI) \end{gathered}$                $\Large\displaystyle\begin{gathered}m = -\frac{b}{2a} \end{gathered}$

Então, substituindo os valores dos coeficientes da equação "IV" na equação "VI", temos:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}m = -\frac{k}{2\cdot(-1)} \end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{-k}{-2} \end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{k}{2} \end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:m = \frac{k}{2} \end{gathered}$

Substituindo o valor de "m" na equação "II", temos:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}n = k - m \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= k - \frac{k}{2} \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{2k - k}{2} \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{k}{2} \end{gathered}$            

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:n = \frac{k}{2} \end{gathered}$

Se:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}m = \frac{k}{2}\:\:\:e\:\:\:n = \frac{k}{2}\:\:\:\Longrightarrow\:\:\:m = n = \frac{k}{2} \end{gathered}$

✅ Portanto, os números são iguais, ou seja:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}m = n \end{gathered}$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/10498148
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