Question

Atividade
Resolva as equações logarítmicas a seguir.
a)log 2(x-1)+log 2(x-2)=1
b)log 4 x +log 2 x=6
Dicas:1⁰)mude log 4 x para a base 2
2⁰)Faça log 2 x=n é substitua na equação
3⁰)calcule n e depois calcule x​

Answer 1

As soluções são:

$a) x = \frac{3+\sqrt{11} }{2}$

$b) x\simeq353,5533906$

Equações Logaritmas

$a) log 2(x-1) + log 2(x-2)=1$

  $log(2x-2)+log(2x-4)=log10$

 $log(2x-2)(2x-4)=log10$ ⇒ usada a propriedade assinalada no anexo

 $(2x-2)(2x-4)=10$

  $2x(2x-4)-2(2x-4)=10$

  $4x^2-8x-4x+8=10$

  $4x^2-12x+8-10=0$

  $4x^2-12x-2=0$

  Resolvendo a Equação de 2º grau:

  $\triangle= (-12)^2-4.4.(-2)$

  $\triangle= 144+32$

  $\triangle= 176$

 $x =\frac{-(-12)\pm\sqrt{176} }{2.4}$

 $x=\frac{12\pm4\sqrt{11} }{8}$

 $x=\frac{3\pm\sqrt{11} }{2}$⇒ simplificado por 4

 $x'\simeq0,158312395\therefore x'\simeq0,15\\\ x '' \simeq -0,158312395\therefore x'\simeq-0,15$

Verificando se estes valores servem para solução da equação (substituindo x por estes valores), veremos que o valor negativo não serve pois resulta em logaritmo de número negativo o que não é possível, dadas as condições de existência dos logaritmos.

Vejamos:

$log2(-0,15-1)+log2(-0,15-2) = log10$

$log2(-1,15)=log2(-2,15)=log10$

$log-1,15+log-2,15=log10$⇒ impossível solucionar com logaritmando negativo

$b) log 4x + log2x=6$

  $log4x.2x= log 1 000 000$ ⇒ usamos a mesma propriedade da questão a

  $4x.2x=1000000$

  $8x^2=1000000$

  $x^2= 1000000:8$

  $x^2= 125000$

  $x=\pm\sqrt{125000}$

  $x=\pm353,5533906...$

  $x\simeq353,5$ ⇒ fazendo a verificação veremos que só serve o valor positivo

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