Question

Usando uma rotação de eixos convenientes, transforme a equação

4x² + y² +4xy + x -2y = 0

em uma que não contenha o termo xy.

Answer 1

$\bullet\;\;$ Equação geral de uma cônica:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

com $A,\,B\,\text{ e }\,C$ não simultaneamente nulos.


$\bullet\;\;$ Equação da cônica em questão:

$4x^{2}+4xy+y^{2}+x-2y=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{\begin{matrix} A=4\\B=4\\C=1 \end{matrix}\right.\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Como $A \neq C,$ existe um ângulo $\theta\in \left(0,\;\frac{\pi}{2}\right),$ tal que

$\mathrm{tg\,}2\theta=\dfrac{B}{A-C}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


Fazendo uma rotação de eixos a um ângulo $\theta$ dado pela fórmula acima, eliminamos o termo misto em $xy.$


$\bullet\;\;$ Encontrando o ângulo de rotação $\theta$ adequado, utilizando a fórmula $\mathbf{(ii)}:$

$\mathrm{tg\,}2\theta=\dfrac{4}{4-1}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}2\theta=\dfrac{4}{3}$


Como a tangente é positiva, garantimos que $2\theta$ está no primeiro quadrante. Logo, o seno e o cosseno de $2\theta$ são positivos:

$\mathrm{sen\,}2\theta=\dfrac{4}{5}\;\;\text{ e }\;\;\cos 2\theta=\dfrac{3}{5}$


Para encontrar o ângulo $\theta,$ vamos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:

$\mathrm{tg\,}\theta=\dfrac{\mathrm{tg\,}2\theta}{1+\sec 2\theta}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$


Substituindo os valores conhecidos na identidade acima, e lembrando que a secante é o inverso do cosseno, temos

$\mathrm{tg\,}\theta=\dfrac{\mathrm{tg\,}2\theta}{1+\frac{1}{\cos 2\theta}}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}\theta=\dfrac{\frac{4}{3}}{1+\frac{5}{3}}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}\theta=\dfrac{4}{3+5}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}\theta=\dfrac{1}{2}$


Segue, então que

$\mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\;\;\text{ e }\;\;\cos \theta=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(iv)}$


O ângulo $\theta$ é de aproximadamente $26,6^{\circ}.$


$\bullet\;\;$ Vamos mudar para novas coordenadas $u$ e $v,$ utilizando a matriz de rotação com o $\theta$ encontrado acima:

$\left[\begin{array}{c} x\\y \end{array} \right ]=\left[\begin{array}{rr} \cos \theta&-\mathrm{sen\,}\theta\\ \mathrm{sen\,}\theta&\cos \theta \end{array} \right ]\left[\begin{array}{c} u\\v \end{array} \right ]\;\;\;\;\;\;\mathbf{(v)}$


Substituindo acima os valores do seno e do cosseno, obtemos

$\left[\begin{array}{c} x\\ \\y \end{array} \right ]=\left[\begin{array}{rr} \frac{2}{\sqrt{5}}&-\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \\ \frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}} \end{array} \right ]\left[\begin{array}{c} u\\ \\v \end{array} \right ]\\ \\ \\ \left[\begin{array}{c} x\\y \end{array} \right ]=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot \left[\begin{array}{rr} 2&-1\\ 1&2 \end{array} \right ]\left[\begin{array}{c} u\\v \end{array} \right ]$


Podemos reescrever a igualdade acima da seguinte forma:

$\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot (2u-v)\\ \\y=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot (u+2v) \end{matrix}\right.\;\;\;\;\;\;\mathbf{(vi)}$


$\bullet\;\;$ Substituindo $\mathbf{(vi)}$ na equação da cônica $\mathbf{(i)},$ temos

$\frac{4}{5}\,(2u-v)^{2}+\frac{4}{5}\,(2u-v)\,(u+2v)+\frac{1}{5}\,(u+2v)^{2}\\ \\+\frac{1}{\sqrt{5}}\,(2u-v)-\frac{2}{\sqrt{5}}\,(u+2v)=0\\ \\ \\ \frac{4}{5}\,(4u^{2}-4uv+v^{2})+\frac{4}{5}\,(2u^{2}+3uv-2v^{2})+\frac{1}{5}\,(u^{2}+4uv+4v^{2})\\ \\+\frac{1}{\sqrt{5}}\,(2u-v)-\frac{2}{\sqrt{5}}\,(u+2v)=0$


Aplicando a propriedade distributiva, e agrupando os termos semelhantes, verificamos que os coeficientes dos termos em $uv,$ em $v^{2}$ e em $u$ se cancelam. Assim, ficamos apenas com

$\frac{16}{5}\,u^{2}+\frac{8}{5}\,u^{2}+\frac{1}{5}\,u^{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\,v-\frac{4}{\sqrt{5}}\,v=0\\ \\ \frac{25}{5}\,u^{2}-\frac{5}{\sqrt{5}}\,v=0\\ \\ 5u^{2}=\sqrt{5}\,v\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} u^{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}\,v \end{array}}$


Esta é uma equação de parábola no plano $uv.$