Question

Determine o máximo e mínimo, caso exitam de f(x,y) = 2x²+3y² restrito à reta x+y=1.

Answer 1

PRIMERA FORMA
Una forma es despejando alguna de las variables en la restricción, digamos:
                                             y = 1 - x

y luego reemplazarla en la función

f(x, 1-x )= F(x) = 2x² + 3(1-x)²
F(x) = 5x² - 6x + 3

Después hallamos el mínimo de F completando cuadrados

F(x) = 5[x² - (6/5) x ] + 3
F(x) = 5[ x - (3/5) ]² - 5 (3/5)² + 3

entonces el mínimo de F está en x = 3/5 y por ello el punto de mínimo de f es (x,y) = ( 3/5 , 2/5)

SEGUNDA FORMA (multiplicadores de Lagrange)
1) Función de Lagrange:
            $L(x,y,\lambda)=2x^2+3y^2+\lambda(x+y-1)$

2) Puntos estacionarios de la función de Lagrange (criterio de la primera derivada parcial)

$L_x=4x+\lambda =0\to x=-\dfrac{\lambda}{4}\\ \\ L_y=6y+\lambda =0\to y=-\dfrac{\lambda}{6}\\ \\ L_\lambda= x+y-1=0\\ \\ \text{resolviendo el sistema: }\\ \\ \dfrac{\lambda}{4}+\dfrac{\lambda}{6}=-1\\ \\ \\ \boxed{\lambda = -\dfrac{12}{5}}\\ \\ \\ \text{Por ende el \'unico punto cr\'itico es: }\\ \\ \hspace*{2.5cm}\boxed{(x,y,\lambda)=\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{2}{5},-\dfrac{12}{5}\right)}$

3) Ahora debemos ver si tal punto es un extremo (criterio de la segunda derivada parcial)

           $L_{xx}=4\;\;,\;\; L_{xy}=L_{yx}=0\;\; ,\;\;L_{yy}=6\\ \\ L_{xx}\ \textgreater \ 0 \;\; & \;\; L_{xx}L_{yy}-L^2_{xy}\ \textgreater \ 0$

Por ello el punto $(x,y)=\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{2}{5}\right)$ es de MÍNIMO