Question

Na função exponencial y = 2^(x²-4x) encontre os valores de x para os quais 1 < y < 32

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

1 < y < 32

1 < 2^(x²-4*x)< 32

2^0< 2^(x²-4*x)< 2^5

0< x²- 4*x < 5

os zeros de x²-4x são 0 e 4 pois

x²-4x=0

x(x-4)=0

x=0 ou x=4

Como a concavidade do gráfico de x²-4x é para cima, isto é, a>0, então

x²-4x >0 se, e somente se, x < 0 ou x>4

Condição 1: x < 0 ou x>4

Por outro lado

x²- 4x = 5

x²-4x -5 =0

delta = (-4)²-4*1*(-5) = 16+20 = 36

$x=\frac{-b+\sqrt{delta} }{2a}=\frac{-(-4)+\sqrt{36} }{2*1} =\frac{4+6 }{2} =\frac{10}{2}=5$

$x=\frac{-b+\sqrt{delta} }{2a}=\frac{-(-4)-\sqrt{36} }{2*1} =\frac{4-6 }{2} =\frac{-2}{2}=-1$

Com isso, x²-4x < 0 para -1 < x < 5

Condição 2:   -1 < x < 5

Fazendo a intersecção das condições 1 e 2:

Condição 1: x < 0 ou x>4

Condição 2:   -1 < x < 5

-1<x<0 ou 4<x<5

Resumindo:

Quando -1<x<0 ou 4<x<5 a função f(x)=2^(x^2-4x) está entre 1 e 32