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Resposta:
Equação vetorial da reta... pouco usual por aqui....rs
a)São reversas (oblíquas)
b)São paralelas
c) São concorrentes
d)São reversas (oblíquas)
Explicação passo-a-passo:
a) Equação vetorial da reta... pouco usual por aqui....rs
Note que as retas não têm direções de vetores que são paralelos
Se (-2,2,4)=α.(1,-1,2), então, para as duas primeiras coordenadas teríamos o α = - 2 e, para a última, α = 2. Alfa não pode assumir dois valores ao mesmo tempo.( 2 e -2)
Portanto, elas não são paralelas.
Daí, surge a questão: Será que essas retas são coplanares?
Se elas forem coplanares, terão um ponto em comum.
Investiguemos este fato.
(0+λ,2-λ,-2+2λ)=(3-2∝,1+2∝,2+4∝)
Dos sistema de equações lineares...
λ = 3-2∝ (vamos usar essa igualdade daqui a pouco)
2-λ=1+2∝
-2+2λ=2+4∝
Trocando, na segunda equação, λ por 3-2∝:
2-(3-2∝)=1+2∝
-1+2∝=1+2∝
1 = - 1 Isso é impossível.
Logo, essas retas não estão no mesmo plano.
Portanto, são reversas.
Ainda, o produto escalar dos vetores diretores delas é:
(-2,2,4).(1,-1,2)=-2-2+8=4≠0.
Logo, não são ortogonais estas retas. São oblíquas.
b) Os vetores diretores de r e s são: (-1,2,1) e (-1/2,1,1/2)
Note que (-1,2,1) = 2. (-1/2,1,1/2)
Portanto, as retas são paralelas.
c) Os vetores diretores de r e s são: (-2,1,-10) e (5,-3,0)
Note que esses vetores não são paralelos pois,
Se (-2,1,-10) =α.(5,-3,0), pela última coordenada, -10=α.0=0
Como -10≠0, os vetores não são paralelos.
Verificando se as retas são coplanares...
3-2λ=3+5∝
1+λ=1-3∝
7-10λ=7
Pela última equação: λ=0
Substituindo λ por 0 na segunda equação, α = 0
Substituindo λ por 0 e α por 0 na primeira equação:
3=3 e, com isso, essas retas são coplanares e, portanto, são concorrentes.
Obs: O produto escalar dos vetores diretores não é zero
(-2,1,-10).(5,-3,0)=-13. Logo, não são perpendiculares.
d)
A equação da segunda reta pode ser transformada para:
x=α
y=2α
z=α
Os vetores diretores dessas duas retas são:
(2,1,1) e (1,2,1) que não são paralelos.
Se (2,1,1) =β(1,2,1), então β=2 pela primeira coordenada e β=1 pela última coordenada.
Logo, as retas não são paralelas.
Vejamos se são coplanares:
-1+2λ=∝
λ=2∝
-1+λ=∝ (vamos usar essa primeiro)
substituindo ∝ por -1+λ na segunda equação temos:
λ=2∝
λ=2(-1+λ)=-2+2λ
λ=2 e, com isso, usando esse fato em λ=2∝ obtemos ∝=1
Trocando o ∝ por 1 e o λ por 2 na primeira equação teremos:
-1+2λ=∝
-1+2.2=1
3=1.. Outra contradição.
Logo, essas retas não são coplanares. Serão reversas.
E, como o produto escalar dos vetores diretores é (2,1,1).(1,2,1)=5≠0, elas serão oblíquas.
Vai ai um presente...rs
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