Question

Na Escola Técnica Municipal de Sete Lagoas existe uma sala de
aula com a forma de um triangulo equilátero, cuja área total é de 30
m2. Devido as medidas sanitárias que deverão ser adotadas para o
início das aulas em 2021, será necessário aumentar o tamanho
dessa sala e assim garantir o distanciamento entre os alunos.
Os alunos do curso Técnico em Edificações realizaram um projeto
para atender as adequações e ficou decidido que as medidas dos
lados da sala terão um acréscimo de 20% da medida original. Nessa
nova situação, é CORRETO afirmar que a área da sala após a
reforma será
43,2 m
108 m2
36 m2
51,84 m2​

Answer 1

A área da sala após a reforma será 43,2 m².

• Num triângulo equilátero seus três lados possuem a mesma medida. Considere ℓ a medida de seus lados e determine sua área em função de ℓ.

• A área de um triângulo é obtida por:

$\large \sf A = \dfrac{b \times h}{2}$

b: medida da base do triângulo.

h: medida da altura do triângulo.

• Observe na figura anexa que a altura do triângulo o divide em dois triângulos retângulos. Aplique o teorema de Pitágoras e determine a equação da medida altura (h) em função da medida do lado (ℓ).

$\large \sf h^2 + \left( \dfrac{\ell}{2} \right)^2 = \ell ^2$

$\large \sf h^2 + \dfrac{\ell ^2}{4} = \ell ^2$

$\large \sf h^2 = \ell ^2 - \dfrac{\ell ^2}{4}$

$\large \sf h^2 = \dfrac{3}{4} \cdot \ell ^2$

$\large \sf h = \dfrac{\sqrt 3}{2} \cdot \ell$

• Considere A₁ a área inicial da sala (30 m²) e A₂ a área após a reforma e ℓ₁ o comprimento inicial do lado da sala. Determine a equação da área A₁.

$\large \sf A_1 = \dfrac{b \times h}{2} = \dfrac{b}{2}\times h$

$\large \sf A_1 = \dfrac{\ell_1}{2} \times \dfrac {\sqrt 3}{2} \cdot \ell_1$

$\large \sf A_1 = {\ell_1}^2 \cdot \dfrac {\sqrt 3}{4}$  ①

• Após a reforma o comprimento (ℓ₂) terá um acréscimo de 20% em relação ao comprimento inicial (ℓ₁).

ℓ₂ = ℓ₁ + 20% ⋅ ℓ₁

ℓ₂ = 1,2 ℓ₁ ②

• Determine a equação da área A₂.

$\large \sf A_2 = {\ell_2}^2 \cdot \dfrac {\sqrt 3}{4}$  ⟹ Substitua o valor de ℓ₂ encontrado na equação ②.

$\large \sf A_2 = \left( 1,2 \cdot {\ell_1} \right)^2 \cdot \dfrac {\sqrt 3}{4}$

$\large \sf A_2 = 1,44 \cdot {\ell_1}^2 \cdot \dfrac {\sqrt 3}{4}$

$\large \sf A_2 = 1,44 \cdot A_1$

A₂ = 1,44 ⋅ A₁

• Substitua o valor da área inicial (A₁) de 30 m².

A₂ = 1,44 ⋅ 30

A₂ = 43,2 m²

A área da sala após a reforma será 43,2 m².

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