Question

O ponto P(7,-3) pertence a uma circunferência de centro (4,2). Determine o ponto diametralmente oposto a P.

Answer 1

Eu recomendo fortemente que você faça um desenho dos pontos em exercícios de circunferência para ter uma ideia da posição dos pontos no plano. 

O ponto (7,-3) pertence a circunferência de centro (4,2) que possui fórmula geral:

(x-4)² + (y-2)² = R², onde R é o raio da circunferência

Para calcular o raio, basta encontrarmos a distância entre o ponto P e o centro C

R² = (7-4)² + (-3-2)² = 34

Então R = √34 e a equação desta circunferência é:

(x-4)² + (y-2)² = 34
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O ponto diametralmente oposto estará na posição conforme pode ser vista no desenho (1° quadrante), com x e y positivos.

As distâncias horizontais e verticais em relação ao centro C devem ser as mesmas do ponto P, ou seja ΔX = 3 e ΔY = 5 (Veja os triângulos que desenhei na figura para entender melhor o motivo) para que o raio seja √34. Como sabemos que o ponto está no primeiro quadrante, então subtraímos ΔX e somamos Δy as coordenadas do centro:

x = C(x) - ΔX = 4 -3 = 1
Y = Y(X) + ΔY = 2 + 5 = 7

Logo as coordenadas deste ponto são (1,7). Pode verificar que satisfazem a equação da circunferência. Se calcularmos a distância ao ponto P:

D² = (7-1)² + (-3-7)² = 36 + 100 = √136 = 2√34 (ou seja o diâmetro da circunferência igual a 2R)

R: (1,7)