Question

Calcule o valor das seguintes integrais repetidas:

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos resolver as seguintes integrais:

a) $\displaystyle{\int_0^1\int_{y^2}^{\sqrt{y}}(2-y)\,dx\,dy}$

b) $\displaystyle{\int_{-1}^1\int_{2x^2}^{1+x^2}(x-2y)\,dy\,dx}$

Resolvendo a)

Esta é uma integral dupla, definida para as variáveis $x$ e $y$. De acordo com o Teorema de Fubini, a ordem de integração deve respeitar a propriedade: a última variável a ser integrada deve ter limites numéricos.

A ordem de ambas as integrais já está determinada. Em a), devemos integrar primeiro em respeito à variável $x$ e então em respeito á variável $y$.

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado, ou limitado por duas funções, é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\int_0^1(2-y)\cdot\int_{y^2}^{\sqrt{y}}1\,dx\,dy}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $1=x^0$

$\displaystyle{\int_0^1(2-y)\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{y^2}^{\sqrt{y}}\,dy}$

Some os valores no expoente e denominador e aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_0^1(2-y)\cdot x~\biggr|_{y^2}^{\sqrt{y}}\,dy}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1(2-y)\cdot(\sqrt{y}-y^2)\,dy}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\int_0^12\sqrt{y}-2y^2-y\sqrt{y}+y^3\,dy}$

Aplique a linearidade

$\displaystyle{2\cdot\int_0^1\sqrt{y}\,dy-2\cdot \int_0^1y^2\,dy-\int_0^1y\sqrt{y}\,dy+\int_0^1y^3\,dy}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $\sqrt{y}=y^{\frac{1}{2}}$ e $y\sqrt{y}=y^{\frac{3}{2}}$

$2\cdot\dfrac{y^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-2\cdot\dfrac{y^{2+1}}{2+1}-\dfrac{y^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+\dfrac{y^{3+1}}{3+1}~\biggr|_0^1$

Some os valores nos expoentes e denominadores e aplique os limites de integração

$\dfrac{4y^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{2y^3}{3}-\dfrac{2y^{\frac{5}{2}}}{5}+\dfrac{y^4}{4}~\biggr|_0^1\\\\\\ \dfrac{4\cdot1^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{2\cdot1^3}{3}-\dfrac{2\cdot1^{\frac{5}{2}}}{5}+\dfrac{1^4}{4}-\left(\dfrac{4\cdot0^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{2\cdot0^3}{3}-\dfrac{2\cdot0^{\frac{5}{2}}}{5}+\dfrac{0^4}{4}\right)$

Calcule as potências e some os valores

$\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{4}\\\\\\ \dfrac{31}{60}~~\checkmark$

Resolvendo b)

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\int_{-1}^1\left(x\cdot\int_{2x^2}^{1+x^2}1\,dy+2\cdot\int_{2x^2}^{1+x^2}y\,dy\right)\,dx}$

Aplique a regra da potência

$\displaystyle{\int_{-1}^1\left(x\cdot\dfrac{y^{0+1}}{0+1}+2\cdot\dfrac{y^{1+1}}{1+1}\right)~\biggr|_{2x^2}^{1+x^2}\,dx}$

Some os valores nos expoentes e denominadores e aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_{-1}^1xy+y^2~\biggr|_{2x^2}^{1+x^2}\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^1x\cdot(1+x^2)+(1+x^2)^2-(x\cdot 2x^2+(2x^2)^2)\,dx}$

Calcule a potência, efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_{-1}^1-3x^4-x^3+2x^2+x+1\,dx}$

Aplique a linearidade

$\displaystyle{-3\cdot\int_{-1}^1x^4\,dx-\int_{-1}^1x^3\,dx+2\cdot\int_{-1}^1x^2\,dx+\int_{-1}^1x\,dx+\int_{-1}^11\,dx}$

Aplique a regra da potência

$-3\cdot\dfrac{x^{4+1}}{4+1}-\dfrac{x^{3+1}}{3+1}+2\cdot\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+\dfrac{x^{0+1}}{0+1}}~\biggr|_{-1}^1$

Some os valores nos expoentes e denominadores e aplique os limites de integração

$-\dfrac{3x^5}{5}-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+x~\biggr|_{-1}^1\\\\\\ -\dfrac{3\cdot1^5}{5}-\dfrac{1^4}{4}+\dfrac{2\cdot1^3}{3}+\dfrac{1^2}{2}+1-\left(-\dfrac{3\cdot(-1)^5}{5}-\dfrac{(-1)^4}{4}+\dfrac{2\cdot(-1)^3}{3}+\dfrac{(-1)^2}{2}-1\right)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$-\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}+1-\left(\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}-1\right)\\\\\\ -\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}+1-\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}+1\\\\\\ \dfrac{32}{15}~~\checkmark$

Este é o valor destas integrais.