Question

Determinar a área da região pintada ( integral )

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos encontrar a área da região limitada pelas curvas $y=13-2x$ e $y=16-x^2$.

Primeiro, lembre-se que a área da região $R$ delimitada por duas curvas $y=f(x)$ e $y=g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$ é calculado pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

Então, devemos determinar o comportamento destas funções, calculando o intervalo em que a região está compreendida, fazendo:

Iguale as funções, de modo a calcular os pontos de interseção das curvas:

$16-x^2=13-2x$

Subtraia $13-2x$ em ambos os lados da igualdade e some os termos semelhantes

$-x^2+2x+3=0$

Resolvendo esta equação quadrática, facilmente encontramos suas soluções:

$x=-1~~\bold{ou}~~x=3$

Dessa forma, o intervalo em que esta região está comprometida é $[-1,~3]$.

Veja na imagem em anexo que, neste intervalo, a parábola que representa a função $y=16-x^2$ tem imagem maior que a reta que representa a função$y=13-2x$.

Sendo assim, substituímos estes dados na integral:

$\displaystyle{\int_{-1}^3 16-x^2-(13-2x)\,dx}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_{-1}^316-x^2-13+2x\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^3-x^2+2x+3\,dx}$

Para resolver esta integral, lembre-se:

• A integral é um operador linear, logo vale que $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$, em que $c$ é uma constante.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$, é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{-\int_{-1}^3 x^2\,dx+2\cdot\int_{-1}^3x\,dx+3\cdot\int_{-1}^31\,dx}$

Aplique a regra da potência, lembrando que $x=x^1$ e $1=x^0$

$-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+2\cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1}+3\cdot \dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{-1}^3$

Some os valores nos expoentes e denominadores

$-\dfrac{x^3}{3}+x^2+3x~\biggr|_{-1}^3$

Aplique os limites de integração

$-\dfrac{3^3}{3}+3^2+3\cdot3-\left(-\dfrac{(-1)^3}{3}+(-1)^2+3\cdot(-1)\right)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$-9+9+9-\left(\dfrac{1}{3}+1-3\right)\\\\\\ -9+9+9-\dfrac{1}{3}-1+3\\\\\\ \dfrac{32}{3}~\bold{u.~a}~~\checkmark$

Esta é a área da região compreendida entre estas curvas.