Question

Questão geometria plana.

Answer 1

Mandei essa imagem só pra explicar de onde veio essa figura e como descobrir os ângulos.

A IMAGEM ESTÁ NO FINAL.

Em seguida é só colocar como x o valor da hipotenusa do triângulo OAB, e calcular os outros lados em função de x por meio dos ângulos.

Sendo o seno e o cosseno de 45º iguais à:

$\frac{\sqrt2}{2}$

Cateto adjacente:
$\frac{\sqrt2}{2}=\frac{C_a}{x}$

$2C_a=x\sqrt2$

$C_a=\frac{x\sqrt2}{2}$

Esse é o valor do cateto adjacente em função de x.

Cateto oposto:
$\frac{\sqrt2}{2}=\frac{C_o}{x}$

$2C_o=x\sqrt2$

$C_o=\frac{x\sqrt2}{2}$

Esse é o valor do cateto oposto em função de x.

Agora somando todos os lados, achando o perímetro, que é igual a 16 cm:

$x+\frac{x\sqrt2}{2}+\frac{x\sqrt2}{2}=16$

$\frac{2x}{2}+\frac{x\sqrt2}{2}+\frac{x\sqrt2}{2}=\frac{32}{2}$

Cortando a parte de baixo.

$2x+x\sqrt2+x\sqrt2=32$

$2x+2x\sqrt2=32$

Dividindo tudo por 2:

$x+x\sqrt2=16$

$x(1+\sqrt2)=16$

$x=\frac{16}{1+\sqrt2}$

Racionalizando:

$x=\frac{16}{1+2\sqrt2}\cdot\frac{1-\sqrt2}{1-\sqrt2}$

$x=\frac{16-16\sqrt2}{1-2}$

$x=\frac{16-16\sqrt2}{-1}$

$x=-16+16\sqrt2$

Se a hipotenusa do triângulo OAB vale x, que é o segmento AB, o qual é congruente ao lado BC. Então é só somar os dois lados:

$AB+BC$

$(-16+16\sqrt2)+(-16+16\sqrt2)$

$-16+16\sqrt2-16+16\sqrt2$

$-32+32\sqrt2$

$32(-1+\sqrt2)$

Que é o mesmo que:

$32(\sqrt2-1)$

Então a resposta é a alternativa A.