Question

Dada a curva y = $x^{4}$ - 6$x^{2}$:

A) Entre as tangentes que passam pelos pontos (0, 3), encontre aquela que tem inclinação positiva.

B) Encontre a área S, limitada pela curva e a tangente.

Answer 1

Olá, boa tarde.

Primeiro, suponha que a equação da reta tangente à função terá a forma $y=ax+b$.

Se estas retas passam pelo ponto $(0,~3)$, facilmente encontra-se o valor do coeficiente $b$:

$3=a\cdot 0+b\\\\\\ b=3$

Então, lembre-se que a equação da reta tangente a uma função $f(x)$, contínua e derivável em um ponto de seu domínio $(x_0,~f(x_0))$ é dada por: $y-y_0=f'(x_0)\cdot (x-x_0)$.

Assim, diferenciamos a função:

$(f(x))'=(x^4-6x^2)'$

Aplique  a linearidade: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$ e $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$

$f'(x)=(x^4)'-6\cdot(x^2)'$

Aplique a regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

$f'(x)=4\cdot x^{4-1}-6\cdot2\cdot x^{2-1}\\\\\\ \boxed{f'(x)=4x^3-12x}$

Observe que esta é uma função polinomial, logo contínua em toda a reta real. Com isso, calculamos $f'(x_0)$ e  $y_0=f(x_0)$:

$f'(x_0)=4\cdot {x_0}^3-12\cdot x_0\\\\\\y_0={x_0}^4-6\cdot{x_0}^2$

Substituindo estes resultados na equação da reta tangente, temos:

$y-({x_0}^4-6{x_0}^2)=(4{x_0}^3-12x_0)\cdot(x-x_0)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some ${x_0}^4-6{x_0}^2$ em ambos os lados da igualdade

$y-{x_0}^4+6{x_0}^2=(4{x_0}^3-12x_0)x-4{x_0}^4+12{x_0}^2\\\\\\ y=(4{x_0}^3-12x_0)x-4{x_0}^4+12{x_0}^2+{x_0}^4-6{x_0}^2\\\\\\ y=(4{x_0}^3-12x_0)x-3{x_0}^4+6{x_0}^2$

Igualando as equações das retas tangentes, teremos:

$ax+3=y=(4{x_0}^3-12x_0)x-3{x_0}^4+6{x_0}^2$

Dois polinômios são identicamente iguais se cada um dos seus coeficientes são iguais. Assim, teremos:

$\begin{cases}a=4{x_0}^3-12{x_0}\\3=-3{x_0}^4+6{x_0}^2\\\end{cases}$

Resolvemos a equação biquadrada na segunda linha do sistema:

$3=-3{x_0}^4+6{x_0}^2$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $3$

$1=-{x_0}^4+2{x_0}^2$

Some ${x_0}^4-2{x_0}$ em ambos os lados da igualdade

${x_0}^4-2{x_0}^2+1=0$

Fatoramos a expressão à esquerda da igualdade e resolvemos a equação

$({x_0}^2-1)^2=0\\\\\\ {x_0}^2-1=0\\\\\\\ {x_0}^2=1\\\\\\ x_0=\pm~1$

Substituindo este resultado na primeira equação do sistema, encontramos o valor do coeficiente $a$:

$a=4\cdot(-1)^3-12\cdot (-1)=8~~\bold{ou}~~a=4\cdot1^3-12\cdot 1=-8$

Visto que buscávamos a equação da reta tangente cuja inclinação é positiva e esta inclinação é numericamente igual ao coeficiente angular $a$ da reta tangente, temos:

$\boxed{y=8x+3}~~\checkmark$

Agora, devemos encontrar a área $S$, limitada pela curva e esta reta tangente.

Lembre-se que a área da região $R$ compreendida entre duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$ é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^bf(x)-g(x)\,dx}$.

O intervalo onde estas funções estão limitadas é determinado pelos pontos de intersecção das funções, isto é, os pontos onde $f(x)=g(x)$. Assim, teremos:

$x^4-6x^2=8x+3$

Visto que a reta é tangente à curva no ponto $x_0=-1$, cuja multiplicidade é igual a $2$, podemos reduzir o grau da equação de modo a encontrarmos:

$x^2-2x-3=0$

Resolvendo esta equação quadrática, facilmente encontramos:

$x=-1~~\bold{ou}~~x=3$

Com isto, determina-se que os limites de integração desta região são os extremos do intervalo $[-1,~3]$. Observe que, neste intervalo, $8x+3>x^4-6x^2$. Assim, a área da região será calculada pela integral:

$S=\displaystyle{\int_{-1}^38x+3-(x^4-6x^2)\,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$S=\displaystyle{\int_{-1}^38x+3-x^4+6x^2\,dx$

Aplique a linearidade $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$.

$S=\displaystyle{8\cdot\int x\,dx+3\cdot\int 1\,dx-\int x^4\,dx+6\cdot\int x^2\,dx~\biggr|_{-1}^3}$

Aplique a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$, sabendo que $x=x^1$ e $1=x^0$.

$S=8\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+3\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}-\dfrac{x^{4+1}}{4+1}+6\cdot\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~\biggr|_{-1}^3$

Some os valores nos expoentes e denominadores e aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$

$S=4x^2+3x-\dfrac{x^5}{5}+2x^3~\biggr|_{-1}^3\\\\\\ S=4\cdot3^2+3\cdot3-\dfrac{3^5}{5}+2\cdot3^3-\left(4\cdot(-1)^2+3\cdot(-1)-\dfrac{(-1)^5}{5}+2\cdot(-1)^3\right)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$S=36+9-\dfrac{243}{5}+54-\left(4-3+\dfrac{1}{5}-2\right)\\\\\\ \boxed{S=\dfrac{256}{5}~\bold{u.~a}}~~\checkmark$

Estas são os resultados que buscávamos.