Question

se a, b -1/2 são as raízes da equação 2x^3+3x^2-3x-2=0 então a^b e igual a:

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações polinomiais.

Para determinarmos o valor da potência $a^b$, devemos resolver a seguinte equação cúbica:

$2x^3+3x^2-3x-2=0$

Sabendo que $a,~b$ e $-\dfrac{1}{2}$ são soluções desta equação, utilizamos as Relações de Girard, que garantem que:

• Em uma equação algébrica de grau $n$ de coeficientes reais $a_n \cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\cdots +a_0=0,~a_n\neq0$, a soma das raízes é igual a $S=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$.
• O produto das raízes é dado por: $P=\dfrac{a_0\cdot (-1)^n}{a_n}$.

Visto que esta é uma equação cúbica, utilizamos $n=3$ e teremos:

$\begin{cases}S=-\dfrac{a_2}{a_3}=-\dfrac{3}{2}\\\\P=\dfrac{-2\cdot(-1)^3}{2}=1\\\end{cases}$

Sabendo que $S=a+b-\dfrac{1}{2}$ e $P=a\cdot b\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{ab}{2}$, temos:

$\begin{cases}a+b-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}\\\\-\dfrac{ab}{2}=1\\\end{cases}$

Some $-\dfrac{1}{2}$ em ambos os lados da primeira equação e multiplique a segunda equação por um fator $(-2)$

$\begin{cases}a+b=-1\\ ab=-2\\\end{cases}$

Utilizamos o método de substituição para resolver o sistema de equações: faça $a=-1-b$ e substitua esta expressão na segunda equação.

$(-1-b)\cdot b=-2$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$-b-b^2=-2$

Resolvendo esta equação quadrática, temos:

$b=-2~~\bold{ou}~~b=1$

Substituindo estes resultados na substituição, temos, respectivamente:

$a=1~~\bold{ou}~~a=-2$

Dessa forma, existem duas soluções para o valor da expressão $a^b$:

$(1)^{-2}~~\bold{ou}~~(-2)^1$

Calculando as potências, temos que os possíveis valores de $a^b$ são:

$1~~\bold{ou}~\,-2~~\checkmark$

Esta é a resposta contida na letra e).