Question

Determinar as equações das retas (t) tangentes à circunferência x2 + y2 + 2x - 3 = 0 e que passam pelo ponto P(5, 2)

Answer 1

X²+Y²+2x-3=0

Vamos completar a equeção utilizando o método de completar quadrado ok:

X²+2x +[  ] +Y² = 3

X² + 2x +[ 1²] + Y² = 3 + [1²]

(X + 1)² + (y - 0)² = 4

(x+1)² +(y-0)² = 2²

c(-1,0)
r = 2

Sabendo-se que a reta é tangente a circuferencia, iremos achar a reta normal a reta tangente: E como?

Ora, basta procurarmos a reta que parti do centro e vai até P

C = (-1,0)
P = (5,2)


Ha varias maneiras de achar a reta, mas irei fazer por determinante ok:

$\\ \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\-1&0&1\\5&2&1\end{array}\right] = \\ \\ x*0*1+y*1*5+(-1)*2*1 - (5*0*1+2*1*x+(-1)*y*1) \\ \\ 0x +5y-2-(0+2x-y) \\ \\ 5y-2-2x+y \\ \\ -2x+6y-2$

Igualando a zero a equação e isolando "y" para obtermos a inclinação da reta:


$\\ -2x+6y-2=0 \\ \\ 6y=2+2x \\ \\ y = \frac{2}{6} + \frac{2x}{6} \\ \\ y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Inclinação da reta é $\frac{1}{3}$

Agora usando o conhecimento da trigonometria onde diz:

$\\ m_{1}* m_{2} = -1 \\ \\ m_{1} * \frac{1}{3} = -1 \\ \\ m_{1} = \frac{-1}{ \frac{1}{3} } \\ \\ m_{1} = -1* \frac{3}{1} \\ \\ m_{1} = -3$


Portanto a reta tangente tera uma inlinação "-3" e passara no ponto P(5,2)

Usando mais uma formula:

Y - yo = m(X - xo)

Yo e Xo é o Ponto:

Y - 2 = -3(X -5)

Y - 2 = -3x + 15

Y = -3x + 15 + 2

Y = -3x + 17

-3x - Y + 17 = 0



ou

3x + Y - 17 = 0