Question

Para as funções f(x) = 4x^3+ 3x^2-6x+1 e g(x)= x^2 ln (x)
a: Encontre os intervalos nos quais f ́e crescente ou decrescente.
b: Encontre os valores maximo e mınimo locais de f.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflex ̃ao.

Answer 1

1) f(x) = 4x^3+ 3x^2-6x+1

f'(x)=12x²+6x-6=0   ==>x'=-1  e x''=1/2

f''(x)=24x+6

24x+6=0   ==>x=-6/24=-1/4   ...(-1/4 ,f(-1/4))  ponto de inflexão

f'''(x)=24 ≠ 0 ...podemos afirmar que (-1/4 ,f(-1/4))  é realmente um ponto de inflexão ==>(-1/4, 21/8)

f''(-1)=-24+6 < 0  ponto de máximo  (-1,f(-1)) =(-1,6)

f''(1/2)=24*(1/2)+6 > 0 ponto de mínimo (1/2 , f(1/2)= ( 1/2,-3/4)

(-1,6)  é  máximo   ==>(-∞,-1) é crescente

(-1,6)  é  máximo  e  (1/2)  mínimo ==>(-1,1/2)   é decrescente

 (1/2 , +∞) é crescente

Lim  24x+6  < 0   ...(-∞,-1)  concavidade p/baixo

x-->-1⁻

Lim  24x+6  < 0   ...(-1/6 ,-1/4)  concavidade p/baixo

x-->-1⁺

Lim  24x+6  < 0   ...(-1/4, 1/2)  concavidade p/cima

x-->-1/4⁻

Lim  24x+6  >  0   ...( 1/2,+∞)  concavidade p/cima

x-->1/2⁺

2) g(x)= x^2 ln (x)

g'(x)=2x *ln(x) + x²*(1/x) = 2x*ln(x) +x

2x*ln(x) +x=0

x*(2ln(x)+1)=0   ==> x=0 ñ serve  e  x=1/√e

g(1/√e) =(1/√e)²  * ln(1/√e) =-1/2e

g''(x)=2*ln(x) +2x/x +1  =2*ln(x) + 3

g''(1/√e)= 2 * ln(1/√e) +3 =2  ponto de mínimo  ==>(1/√e ; -1/2e )

2*ln(x) + 3 =0  ==> ln(x)=-3/2  ==>x=e^(-3/2)

g'''(x)=2/x ...ñ tem ponto de inflexão

(1/√e ; -1/2e ) é mínimo ==> (0, 1/√e  ) é decrescente

(1/√e ; ∞) é crescente

lim  x^2 ln (x) > 0   concavidade para cima

x-->1/√e⁻

lim  x^2 ln (x) > 0   concavidade para cima

x-->1/√e⁺

lim  x^2 ln (x) > 0   concavidade para cima

x-->∞