ATIVIDADE
Segue fórmulas da PA.
an = a1 + ( n - 1). r e Sn = (a1 + an) . n / 2
1) Calcule a soma dos 35 termos da PA (12, 7, 2, ...).
2) Qual é a soma dos 80 primeiros termos da PA, cujo a1 = - 10 e r = 3?
3) Qual é a PA, cujo a1 = - 20, an = 2n e Sn = 24?
4) Quantos termos tem a PA (1, 4, 7, ...) e cuja soma é 145?
5) Ache a soma da PA de 8 termos, cuja razão é igual a - 4 e o ultimo termo é - 29.
6) Qual é a soma da PA (- 33, ..., 3), sabendo que ela tem 10 termos?
7) Determine a razão da PA, cujo a1 = 5 e a7.
Respostas
Resposta:
Explicação passo a passo:
Segue fórmulas da PA.
an = a1 + ( n - 1). r
Sn = (a1 + an) . n / 2
1) Calcule a soma dos 35 termos da PA (12, 7, 2, ...).
PRIMEIRO achar (R)
a1 = 12
a2 = 7
R = a2 - a1
R = 7 - 12
R = - 5 ( razão)
ACHAR (an)
n = 35 ( 35 termos)
an = ??? achar
an = a1 + (n - 1)R
an = 12 + (35 - 1)(-5)
an = 12 + (34)(-5)
an = 12 - 170
an = - 158
(a1 + an)n
Sn = -----------------
2
(12 - 158)35
Sn = ---------------------
2
(-146)35 - 5.110
Sn = -------------------- = ------------- = - 2.555
2 2
Sn = - 2.555 ( Soma)
2) Qual é a soma dos 80 primeiros termos da PA,
cujo
a1 = - 10
r = 3
n = 80 ( 80 primeiros)
an = ??? achar
an = a1 + (n - 1)R
an = - 10 + (80 - 1)(3)
an = - 10 + (79)3
an = -10 + 237
an = 227
(a1 + an)n
Sn = ----------------
2
(-10 + 227)80 (217)80 17.360
Sn = --------------------- =---------------------- = ------------- = 8.680
2 2 2
Sn = 8.680 ( soma)
3) Qual é a PA, cujo
a1 = - 20
an = 2n
Sn = 24?
n = ??? números de termos
(a1 + an)n
Sn = -----------------
2
(-20 + 2n)n
24 = ------------------
2
-20n + 2n²
24 = --------------------
2 passa o (2) multiplicando
2(24) = - 20n + 2n²
48 = - 20n + 2n² mesmo que
- 20n + 2n² = 48 zero da função OLHA o sinal
- 20n + 2n² - 48 = 0 arruma a casa
2n² - 20n - 48 = 0 poderiamos DIVIDIR tudo por (2)) deixa assim
EQUAÇÃO DO 2ºGRAU
ax² + bx + c =0
2n² - 20n - 48 = 0
a = 2
b =- 20
c = - 48
Δ = b² - 4ac
Δ = (-20)² - 4(2)(-48)
Δ = +20x20 - 4(-96)
Δ = + 400 + 384
Δ = + 784 ===============> √Δ = √784 = √28x28 = 28
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(Baskara)
- b ± √Δ
n = --------------
2a
-(-20) - √784 + 20 - 28 - 8
n' = ---------------------- =-------------------- = --------- = - 2
2(2) 4 4
e
-(-20) + √784 + 20 + 28 + 48
n'' = ---------------------- = ------------------ = --------- = 12
2(2) 4 4
assim as duas raizes
n' = - 2 ( desprezamos por SER NEGATIVO)
n'' = 12
n = número de termos (12 termos)
assim
n = 12
an = 2n
an = 2(12)
an = 24
ACHAR o (R = razão)
an = a1 + (n - 1)R
24 = -20 + (12 - 1)R
24 = - 20 + (11)R
24 = - 20 + 11R mesmo que
- 20 + 11R = 24
11R = 24 + 20
11R = 44
R = 44/11
R = 4 ( razão)
a1 = -20
a2 = - 20 + 4 = - 16
a3 = - 16 + 4 = -12
a4 = -12 + 4 = - 8
a5 = - 8 + 4 = - 4
a6 =- 4 + 4 = 0
a7 = 0 + 4 = 4
a8 = 4 + 4 =8
a9 = 8 + 4 = 12
a10 = 12 + 4 = 16
a11 = 16 + 4 = 20
a12 = 20 + 4 = 24
assim a PA
PA = { -20,-16,-12,-8,-4, 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24}
4) Quantos termos tem a PA (1, 4, 7, ...) e cuja soma é 145?
a1 = 1
a2 = 4
R = a2 - a1
R = 4 - 1
R = 3 ( razão)
an = ????
an = a1 + (n - 1)R
an = 1 + (n - 1)3
an = 1 + 3n - 3
an = 3n - 3 + 1
an = 3n - 2
(a1 + an)n
Sn = -------------------
2
(1 +( 3n - 2))n
145 = ----------------
2
2(145) = (1 + (3n - 2))n
290 = (1 - 2 + 3n)n
290 = (- 1 + 3n)n
290 = - n + 3n² mesmo que
- n + 3n² = 290 zero da função
- n + 3n² - 290 = 0 arruma a casa
3n²- n - 290 =0
a = 3
b = - 1
c = - 290
Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4(3)(-290)
Δ = +1x1 - 4(-870)
Δ = + 1 + 3.480
Δ = 3.481 =============> √Δ = √3481 = √59x59 = 59
se
Δ > 0 ( DUAS razies diferentes)
(Baskara)
- b ± √Δ
n = --------------
2
-(-1) - √3481 + 1 - 59 - 58
n' = ---------------------- = ---------------- =---------------
2(3) 6 6
e
-(-1) + √3481 + 1 + 59 + 60
n'' = -------------------- = ------------- = -------- =10
2(3) 6 6
assim
as duas raizes
n' =- 58/6 desprezamos ( FRAÇÃO e NEGATIVO)
n'' = 10
n = 10 termos resposta
5) Ache a soma da PA de 8 termos, cuja razão é igual a - 4 e o ultimo termo é - 29.
a1 ???
an = - 29
R =- 4
n = 8 ( 8 termos)
an = a1 + (n - 1)R
- 29 = a1 + (8 - 1)(-4)
- 29 = a1 +(7)(-4)
- 29 = a1 - 28
a1 - 28 = - 29
a1 =- 29 + 28
a1=- 1
(a1 +an)n
Sn = ------------------
2
(-1 - 29)8
Sn = ---------------
2
(-30)8 - 240
Sn = --------------- = ------------- = - 120
2 2
Sn = - 120 ( soma)
6) Qual é a soma da PA (- 33, ..., 3), sabendo que ela tem 10 termos?
a1 = - 33
an = 3
n = 10 termos
(a1 + an)n
Sn =---------------
2
(-33 + 3)10
Sn = ----------------
2
(-30)10 - 300
Sn = --------------- =--------------- = - 150
2 2
Sn = - 150 ( Soma)
7) Determine a razão da PA, cujo a1 = 5 e a7.
a1 = 5
a7 = an =
n = 7 = a7
an = a1 + (n - 1)R
a7 = 5 + (7 - 1)R
a7 = 5 + (6)R
a7 = 5 + 6R
assim
a7= an
an = 5 + 6R