Question

5º) A soma i + i3 + i5 + i7 + i9 é igual a:
a) i
b) -i
e) 2i
c) 1
d) -1
3º Atividade
1º) Efetuando a multiplicação entre os números complexos Z1 = 3 +7i e z2 = 1 - i é:
a) 10 - 4i
b) 10 + 4i
c) 4 + 6i
d) 4-6
e) 4i
29) Realizando a divisão entre os números complexos z1 = 3 + 7i e z2 = 1 - i é:
a) 3 sobre 7 + 1 sobre 7 i
b) 7 - 31
c) 2+5i
d)-2+5i
e)2
​

Answer 1

Resposta:

5)   i          logo a)

3ª atividade

1 º) 10 + 4i     logo b)

29)   - 2 + 5i      logo d)

Explicação passo a passo:  

5)  

Observação 1 → Potências de " i "

Nas potências de " i " notam-se regularidades, de quatro em quatro:

$i^{0} =1$                    $i^{4}=1$                  $i^{8} =1$              $i^{12} =1$

$i^{1}=i$                     $i^{5} =i$                  $i^{9} =i$               $i^{13} =i$

$i^{2} =-1$                  $i^{6}=-1$               $i^{10} =-1$          $i^{14} = -1$

$i^{3}=-i$                   $i^{7} =-i$               $i^{11}=-i$           $i^{15}=-i$  

$i^{1} +i^{3} +i^{5} +i^{7} +i^{9} =+i-i+i-i+i=i$

Creio que não vai precisar da demonstração.

Veja bem as regularidades.  

Saiba bem a coluna à esquerda. E perceba como calcular depois com

potências com expoente maior.

1)

Dados:

z1 = ( 3 + 7i )         z2 = ( 1 - i )    

Pedido:

( 3 + 7i ) * ( 1 - i ) = ?    

Aplica a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

algébrica ( inclui adição e subtração ) ; vulgarmente conhecida como a

" regra do chuveirinho "

( 3 + 7i ) * ( 1 - i )

= 3 * 1 + 3 * ( - i ) + 7i * 1 + 7i * ( - i )

= 3 - 3i + 7i - 7i²

Como i² = - 1

= 3 + (- 3 + 7 )* i - 7 * ( - 1 )

= 3 + 4i + 7

= 10 + 4i

29)  

Dados:

z1 = ( 3 + 7i )         z2 = ( 1 - i )    

Pedido:

$\frac{3+7i}{1-i} =?$

Para se dividir dois números complexos, temos que multiplicar o

numerador e o denominador da fração, pelo conjugado do denominador.

$\frac{3+7i}{1-i} =\frac{(3+7i)*(1+i)}{(1-i)*(1+i)}=\frac{3*1+3*i+7i*1+7i*i}{1^2-i^2} =\frac{3+10i+7i^{2} }{1+1}=\frac{3+10i+7*(-1)}{2}$

$=\frac{3+10i-7}{2}=\frac{-4+10i}{2} =\frac{2*(-2+5i)}{2} =-2+5i$

No numerador aplicou-se a propriedade distributiva da multiplicação, em

relação à adição.

No denominador tem ( 1 - i ) * ( 1 + i )

Isto é um Produto Notável  " A diferença de dos quadrados "

Observação 2 → Produto Notável → " Diferença de dois quadrados "

Quando temos , a diferença de dois quadrados  

a² - b² = ( a  - b ) * ( a + b)

Mas se tivermos num exercício

( a  - b ) * ( a + b)   isto transforma-se em a² - b²

Observação 3 → Quais as partes de um número complexo z = a + bi ?

Tem duas.

A parte real ( Re(z) )

A parte imaginária ( Im(z) )

Observação 4 → Conjugado de um número complexo

No conjugado de um número complexo , mantém-se a parte real, e troca-se

o sinal à parte imaginária.

z = 1  - i    tem parte real = " 1 "         tem parte imaginária = " - i "

Conjugado de 1 - i   é   1 + i

Bom estudo.

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Sinais:  ( * ) multiplicação