Question

Alguém me ajuda pfv?? Analisando a Hipociclóide a seguir, com suas paramétricas indicadas, calcule o comprimento do arco que está descrito em seu primeiro quadrante.

Answer 1

O comprimento do arco da hipocicloide dada que está descrito no primeiro quadrante é 3.

Explicação

Seja uma função dada pelas equações paramétricas x = x(t) e y = y(t). O comprimento L do arco do seu gráfico no intervalo $\mathsf{\alpha\leq t \leq \beta}$ é dado pela seguinte fórmula:

$\large\boxed{\mathsf{L=\int\limits_\alpha^\beta\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt}}$

Nesta questão, temos $\mathsf{x=2sen^3t}$ e $\mathsf{y=2cos^3t.}$ Calculando a primeira derivada em relação a t, segue que:

$\displaystyle\mathsf{\frac{dx}{dt}=6sen^2t\cdot cos\,t}$    e  $\displaystyle\mathsf{\frac{dy}{dt}=-6cos^2t\cdot sen\,t.}$

Substituindo na fórmula e lembrando que $\mathsf{0\leq t \leq \dfrac{\pi}{2},}$ decorre que:

$\displaystyle\large\mathsf{L=\int\limits_\alpha^\beta\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt=}\\\\\\\large\mathsf{=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\left(6sen^2t\cdot cos\,t\right)^2+\left(-6cos^2t\cdot sen\,t\right)^2}\,dt=}\\\\\\\large\mathsf{=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{36sen^4t\cdot cos^2t+36cos^4t\cdot sen^2t}\,dt=}\\\\\\\large\mathsf{=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(36sen^2t\cdot cos^2t)(sen^2t+cos^2t)}\,dt}$

Recordando que $\mathsf{sen^2t+cos^2t=1}$ (relação trigonométrica fundamental), vem que:

$\displaystyle\large\mathsf{\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(36sen^2t\cdot cos^2t)(sen^2t+cos^2t)}\,dt=}\\\\\\\large\mathsf{=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{36sen^2t\cdot cos^2t}\,dt=}\\\\\\\large\mathsf{=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}6\cdot sen\,t\cdot cos\,t\,dt}$

Agora, vamos fazer uma mudança de variável. Seja $\mathsf{u=sen\,t.}$ Consequentemente, $\mathsf{du=cos\,t\,dt.}$

Determinemos os novos limites de integração. Quando $\mathsf{t=\dfrac{\pi}{2},}$ temos $\mathsf{u=sen\,t =sen\,\dfrac{\pi}{2}=1.}$ Se $\mathsf{t=0,}$ então $\mathsf{u=sen\,0=0.}$

Com isso, ficamos com:

$\displaystyle\large\mathsf{\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}6\cdot sen\,t\cdot cos\,t\,dt=}\\\\\\\large\mathsf{=\int\limits_0^{1}6u\,du=}\\\\\\\large\mathsf{=6\int\limits_0^{1}u\,du=}\\\\\\\large\mathsf{=6\cdot \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1=}\\\\\\\large\mathsf{=6\cdot\left(\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}\right)=}\\\\\\\large\mathsf{=6\cdot\left(\frac{1}{2}\right)=}\\\\\\\large\mathsf{=3}$

Então, concluímos que:

$\large\boxed{\boxed{\mathsf{L=3}}}$

Dúvidas? Comente.

Espero ter ajudado! :)