Question

Alguem me ajuda pfvr?? calcule o comprimento do arco da curva dada por: , que vai de A até B, conforme a figura a seguir:

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

O comprimento de arco de uma curva dada por uma função $y=f(x)$, contínua e derivável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada pela integral: $\displaystyle{\int_a^b \sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.

Neste caso, a curva é dada pela função $y=x^{\frac{3}{2}}-4$ e está compreendida entre os pontos $A~(1,\,-3)$ e $B~(4,~4)$. Observe que estes pontos determinam o intervalo de integração: $[1,~4]$.

Então, calculamos a derivada da função $f(x)$:

$\dfrac{d}{dx}(y)=\dfrac{d}{dx}(x^{\frac{3}{2}}-4)$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada é um operador linear, logo vale que: $\dfrac{d}{dx}(g(x)+h(x))=\dfrac{d}{dx}(g(x))+\dfrac{d}{dx}(h(x))$.
• A derivada de uma função $y=y(x)$ é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(y(x))=\dfrac{d(y(x))}{dy}\cdot \dfrac{dy}{dx}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$. Em particular, quando $n=0$, temos a derivada de uma constante, que é igual a zero.

Aplique a linearidade

$\dfrac{d}{dx}(y)=\dfrac{d}{dx}(x^{\frac{3}{2}})-\dfrac{d}{dx}(4)$

Aplique a regra da cadeia e da potência

$1\cdot y^{1-1}\cdot \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}-1}-0$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{2}\cdot x^{{\frac{1}{2}}$

Sabendo que $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x},~x\geq0$, substituímos estes resultado na integral:

$\displaystyle{\int_1^4\sqrt{1+\left(\dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{x}\right)^2}\,dx$

Calcule a potência

$\displaystyle{\int_1^4\sqrt{1+\dfrac{9x}{4}}\,dx$

Faça uma substituição $u=1+\dfrac{9x}{4}$. Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito á variável $x$:

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}\left(1+\dfrac{9x}{4}\right)$

Aplique a linearidade

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(1)+\dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{d}{dx}(x)$

Aplique a regra da cadeia e da potência

$1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=0+\dfrac{9}{4}\cdot1\cdot x^{1-1}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{9}{4}$

Isole $dx$

$dx=\dfrac{4}{9}\cdot du$

Antes de substituir estes elementos na integral, devemos reindexar os limites de integração: quando $x=1,~u=1+\dfrac{9}{4}=\dfrac{13}{4}$ e quando $x=4,~u=1+9=10$. Assim, teremos:

$\displaystyle{\int_{\frac{13}{4}}^{10}\sqrt{u}\cdot\dfrac{4}{9}\,du$

Para resolver esta integral, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int c\cdot g(x)\,dx=c\cdot\int g(x)\,dx}$..
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\dfrac{4}{9}\cdot\int_{\frac{13}{4}}^{10}\sqrt{u}\,du$

Aplique a regra da potência

$\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}~\biggr|_{\frac{13}{4}}^{10}$

Some os valores no expoente e denominador e calcule a fração de frações

$\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}~\biggr|_{\frac{13}{4}}^{10}\\\\\\ \Rightarrow\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}~\biggr|_{\frac{13}{4}}^{10}\\\\\\ \Rightarrow\dfrac{8}{27}\cdot u^{\frac{3}{2}}~\biggr|_{\frac{13}{4}}^{10}$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{8}{27}\cdot \left(10^{\frac{3}{2}}-\left(\dfrac{13}{4}\right)^{\frac{3}{2}\right)$

Calcule as potências

$\dfrac{8}{27}\cdot \left(10\sqrt{10}-\dfrac{13\sqrt{13}}{8}\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{80\sqrt{10}-13\sqrt{13}}{27}\approx 7{,}6337~\bold{u.~c}$

Este é o comprimento de arco desta curva compreendida entre os pontos $A$ e $B$.

Answer 2

                   Fórmula para comprimento de arco.

             

                                  $\boxed{\boxed{L=\int\limits^a_b {\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2 } } \, dx }}$

                                    Pontos:  (1 , -3 ) ; ( 4 , 4 ) .

Para a parte superior:

                      $L= \int\limits^4_1 {\sqrt{1+\frac{d}{dx}(x^{\frac{3}{2} } -4 )^2} } \, dx$

                         

Vamos calcular a derivada de $x^{\frac{3}{2} } -4$

  $\frac{d}{dx} ( x^{\frac{3}{2} } -4) = \frac{d}{dx} x^{\frac{3}{2} } - \frac{d}{dx} 4= \frac{d}{dx} x^{\frac{3}{2} } -0 = \frac{3}{2} . x^{\frac{1}{2} }$

Vamos substituir o valor calculado, teremos:

$L= \int\limits^4_1 {\sqrt{1+\frac{d}{dx}(x^{\frac{3}{2} } -4 )^2} } \, dx=\int\limits^4_1 \sqrt{1+(\frac{3}{2}.x^{\frac{1}{2} } )^2 } } \, dx =\int\limits^4_1 {\sqrt{1+\frac{9}{4}.x } } \, dx$

se substituirmos  $u= 1+\frac{9}{4} x$    então  $du = \frac{9}{4} dx$ ,  quando x = 1, u = $\frac{13}{4}$ ;  quando x = 4, u = 10. portanto:

$L = \frac{4}{9} .\int\limits^{10}_{13/4} {\sqrt{u} } \, du \\\\\\= \frac{4}{9} .\frac{2}{3} .u^{\frac{3}{2} } ]^{10}_{13/4}=\\\\ \\\\\frac{8}{27} [10^{\frac{3}{2} } -(\frac{13}{4} )^\frac{3}{2} ]=\\\\\\\\\frac{1}{27} . ( 80\sqrt{10} - 13\sqrt{13} )$