Question

*Problema 8. Uma Equação Diofantina é uma equação polinomial que permite a duas ou mais variáveis assumirem apenas valores inteiros.

a) Mostre que a Equação Diofantina linear do tipo ax + by = c, onde a, b e c são números inteiros dados e x e y são incógnitas a serem determinadas em ℤ, admite soluções se, e somente se , o mdc(a,b) divide c.

a) Seja x0 e y0 uma solução particular, arbitrariamente dada, da equação ax + by = c, onde mdc(a, b) = d. Então as soluções da equação são da forma
x = x0 + (

Answer 1

a) Mostre que a Equação Diofantina linear do tipo ax + by = c, onde a, b e c são números inteiros dados e x e y são incógnitas a serem determinadas em ℤ, admite soluções se, e somente se , o mdc(a,b) divide c.

Vou supor que ax + by = c  tem solução, vou chamar essa solução de ($x_0,y_0$)

                   

De sorte que:              

$MDC(a,b)|a\\\\MDC(a,b)|b$

Logo podemos usar a combinação linear.

$Mdc(a,b)|ax_0+by_0$  ⇔ $Mdc(a,b)| c$

                                                                                                   $\boxed{}$

a) Seja $x_0$ e $y_0$ uma solução particular, arbitrariamente dada, da equação ax + by = c, onde mdc(a, b) = d. Então as soluções da equação são da forma

$x=x_0+\frac{b}{d} .t\\\\\\y=y_0-\frac{b}{d} .t$

Prova:

se  $x=x_1$ e $y=y_1$  for outra solução inteira da mesma, teremos $a(x_1-x_0)= b(y_0-y_1)$   ; cancelando d em ambos os membros dessa igualdade, segue que:

                                   $\frac{a}{d} (x_1-x_0) = \frac{b}{d} (y_0-y_1)$

Assim, $\frac{b}{d} |\frac{a}{d} (x_1-x_0)$  e  como   $mdc(\frac{a}{d} , \frac{b}{d} )=1$,  usando uma proposição que garante que $\frac{b}{d} (x_1-x_0)$.  Sendo que $x_1-x_0 = \frac{b}{d} .t$,  obtemos  $y_0-y_1=\frac{a}{d} .t$

e a formula do enunciado segue. Reciprocamente, é imediato que tais fórmulas dão de fato soluções inteiras para a equação.

Para o que falta, suponha que a,b>0 ( os demais casos vamos analisar de forma análoga). Como:

$u - tb>0$ ⇔ $t<\frac{u}{b}$  e   $v+ta<0$ ⇔ $t<-\frac{v}{a}$

escolhendo um inteiro t tal que  $t<-\frac{v}{a}$, $-\frac{v}{a}$   e fazendo  $u_1 = u-tb$  e  $v_1=v+ta$,  teremos  $u_1>0$, $v_1<0$   e  d = $au_1+bv_1$. analogamente mostramos  que podemos tomar uma solução x<0<y da equação dada.

                                                                                                                     $\boxed{}$