Question

Uma equação da reta tangente à curva x^2 – 4xy + y^2 = – 11 no ponto P(5,2) é igual a:
a) y = 5x + 2
b) y = (3x + 1)/4
c) y = (x – 26)/4
d) y = (x – 15)/4
e) y = (x + 11)/8

Answer 1

Uma equação da reta tangente à curva cuja equação foi dada é $\mathsf{y=\dfrac{x+11}{8}.}$

Explicação

Sabe-se que o coeficiente angular da reta tangente a uma curva é dado pelo valor da derivada da função da qual a curva é o gráfico no ponto de tangência.

Assim, inicialmente, vamos calcular a derivada da função que é dada implicitamente pela equação $\mathsf{x^2-4xy+y^2=-11.}$

Lembrando-se da regra da cadeia, vem que:

$\displaystyle\large\mathsf{\frac{dx}{dy}(x^2-4xy+y^2)=\frac{d(-11)}{dy}}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{2x-\left(4y+4x\frac{dy}{dx}\right)+2y\frac{dy}{dx}=0}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{2x-4y-4x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{2x-4y+(-4x+2y)\frac{dy}{dx}=0}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{\frac{dy}{dx}=\frac{-2x+4y}{-4x+2y}}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{\frac{dy}{dx}=\frac{-2(x-2y)}{-2(2x-y)}}$

Simplificando o -2 no numerador e denominador, segue que:

$\displaystyle\large\mathsf{\frac{dy}{dx}=\frac{-2(x-2y)}{-2(2x-y)}}\implies\\\\\\\implies\large\boxed{\mathsf{\frac{dy}{dx}=\frac{x-2y}{2x-y}}}$

Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto (5, 2):

$\displaystyle\large\mathsf{\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(5,\,2)}=\frac{5-2\cdot 2}{2\cdot 5-2}}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(5,\,2)}=\frac{5-4}{10-2}}\implies\\\\\\\implies\large\boxed{\mathsf{\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(5,\,2)}=\frac{1}{8}}}$

Logo, o coeficiente angular da reta tangente é $\mathsf{m=\dfrac{1}{8}.}$

Determinemos, agora, uma equação da reta tangente à curva dada no ponto (5, 2).

$\displaystyle\large\mathsf{y-y_0=m\cdot(x-x_0)}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{y-2=\frac{1}{8}(x-5)}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{y=\frac{1}{8}(x-5)+2}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{y=\frac{1}{8}(x-5)+\frac{16}{8}}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{y=\frac{x-5+16}{8}}\implies\\\\\\\implies\large\boxed{\boxed{\mathsf{y=\frac{x+11}{8}}}}$

Resposta: alternativa e).

Dúvidas? Comente.

Espero ter ajudado! :)