Question

Por favor preciso de ajuda!
Por favor preciso com resolução.
Tomando o sábado como ponto inicial, atribuindo-lhe o número zero e utilizando o conceito de congruência módulo m. Podemos dizer que estamos diante de uma relação definida no conjunto Z, sendo assim, assinale a alternativa que indica o tipo do dia da semana que será daqui a 232 dias, considerando que hoje é sábado:


7K + 2


7K + 5


7K + 1


7K


7K + 4

Answer 1

Sabemos que

$232=33\cdot 7+1\;\;\Rightarrow\;\;232\equiv 1~~(\mathrm{mod}~7)$


Sabemos também que, para qualquer $k$ inteiro, temos

$0\equiv 7k~~(\mathrm{mod~}7)$


Somando as duas congruências membro a membro, obtemos

$232+0\equiv 7k+1~~(\mathrm{mod~}7)\\ \\ 232\equiv 7k+1~~(\mathrm{mod~}7)$


Considerando que hoje é sábado, o dia correspondente é

$7k+1$ (domingo)

Answer 2

Primeiro, a notação de congruência serve para dar ênfase ao resto de uma divisão. O enciclopedista D'alembert formula que, se $a$ é dividido por $b$, resultando num quociente $q$ e deixando um resto $r$, então segue-se que:

$a = b\times q + r$

A ideia de congruência proposta por Gauss serve perfeitamente para situação cíclicas, como descobrir o 232º dia referente à semana a partir de hoje ou descobrir 113º termo da sequência AABAABAAB(...). No caso do dia das semanas, precisamos dividir a quantidade de dias que se passaram por 7 (pois é a totalidades de dias numa semana), mas não queremos saber a quantidade de semanas que se passaram. Queremos saber o dia que resultará após esses 232 dias.

A decorrer de 231 dias, passam-se 77 semanas perfeitas, isto é, retornamos ao sábado. Por que retornamos exatamente ao sábado? Perceba:

$Sabado \rightarrow Domingo \rightarrow Segunda \rightarrow Terca \rightarrow \\ Quarta \rightarrow Quinta \rightarrow Sexta \rightarrow Sabado$

Como eu falei, os dias da semana são eventos cíclicos, porque eles ocorrem sempre na mesma ordem e repetem-se. O mesmo ocorre para o resto de uma divisão entre consecutivos. Se dividirmos de 231 a 238 por 7, obtemos os restos respectivos (em ordem crescente de divisão):

$0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 6 \rightarrow 0$

Então cada resto pode-se adequar a um dia da semana e a questão preferiu relacionar o sábado com o 0.

Para voltarmos a falar de congruência, quando escrevemos que $a \equiv r \mod b$, queremos dizer que, quando $a$ é dividido por $b$, ele deixa resto $r$. Sendo assim, como $232 \equiv 1 \mod 7$, então ele corresponde ao dia da semana que é referente ao resto 1, isto é, um dia após o sábado, que é o domingo.

Tentei explicar da melhor maneira possível, mas, se ainda não entender, me avisa, que eu tento melhorar!