Question

Vejam como as aparências enganam! O número abaixo é inteiro positivo.
√(4 + √63:2) + √(4 - √63:2)
Que número é esse?
ME AJUDEM PFV...

Answer 1

$x=\sqrt{4+\dfrac{\sqrt{63}}{2}}+\sqrt{4-\dfrac{\sqrt{63}}{2}}\\ \\ \\ x=\sqrt{\dfrac{8}{2}+\dfrac{\sqrt{63}}{2}}+\sqrt{\dfrac{8}{2}-\dfrac{\sqrt{63}}{2}}\\ \\ \\ x=\sqrt{\dfrac{8+\sqrt{63}}{2}}+\sqrt{\dfrac{8-\sqrt{63}}{2}}\\ \\ \\ x=\dfrac{\sqrt{8+\sqrt{63}}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{8-\sqrt{63}}}{\sqrt{2}}\\ \\ \\ x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left(\sqrt{8+\sqrt{63}}+\sqrt{8-\sqrt{63}} \right )\\ \\ \\ \sqrt{2}\,x=\sqrt{8+\sqrt{63}}+\sqrt{8-\sqrt{63}}$


Note que $x$ é a soma de duas raízes quadradas, portanto $x$ não pode ser negativo:

$x\geq 0.$


$\bullet\;\;$ O que acontece se elevarmos ao quadrado os dois lados da última igualdade?

$(\sqrt{2}\,x)^{2}=\left(\sqrt{8+\sqrt{63}}+\sqrt{8-\sqrt{63}} \right )^{2}\\ \\ \\ 2x^{2}=\left(\sqrt{8+\sqrt{63}}+\sqrt{8-\sqrt{63}} \right )^{2}$


Desenvolvendo o quadrado da soma do lado direito (produtos notáveis), obtemos

$2x^{2}=\left(\sqrt{8+\sqrt{63}} \right )^{2}+2\cdot \sqrt{8+\sqrt{63}}\cdot \sqrt{8-\sqrt{63}}+\left(\sqrt{8-\sqrt{63}} \right )^{2}\\ \\ \\ 2x^{2}=8+\sqrt{63}+2\cdot \sqrt{8+\sqrt{63}}\cdot \sqrt{8-\sqrt{63}}+8-\sqrt{63}\\ \\ 2x^{2}=16+2\cdot \sqrt{8+\sqrt{63}}\cdot \sqrt{8-\sqrt{63}}\\ \\ 2x^{2}=16+2\cdot \sqrt{(8+\sqrt{63})\cdot (8-\sqrt{63})}\\ \\ 2x^{2}=16+2\cdot \sqrt{8^{2}-(\sqrt{63})^{2}}\\ \\ 2x^{2}=16+2\cdot \sqrt{64-63}\\ \\ 2x^{2}=16+2\cdot \sqrt{1}\\ \\ 2x^{2}=16+2\cdot 1\\ \\ 2x^{2}=16+2\\ \\ 2x^{2}=18\\ \\ x^{2}=\dfrac{18}{2}\\ \\ \\ x^{2}=9\\ \\ x=\pm\sqrt{9}\\ \\ x=\pm 3$


Mas, como $x$ não pode ser negativo, da última igualdade acima, concluímos que

$x=3$


$\boxed{\begin{array}{c}\sqrt{4+\dfrac{\sqrt{63}}{2}}+\sqrt{4-\dfrac{\sqrt{63}}{2}}=3 \end{array}}$