Question

1. Resolva as seguintes inequações do 2º grau em R: a) 3x2 - 10x + 7 < 0 b) - 4x2 + 9 > 0​

Answer 1

Essa é uma questão correspondente a inequações. Uma inequação é uma expressão que contém sinal de desigualdade (maior, menor, maior ou igual, menor ou igual). Veja abaixo a resolução para o exercício dado.

Resolução:

a) 3x² - 10x + 7 < 0

• Inicialmente, igualamos a zero e encontramos as raízes (do mesmo modo que em uma equação do segundo grau).

3x² - 10x + 7

Coeficientes:

a ⇒ 3

b ⇒ -10

c ⇒ 7

Achando as raízes:

$x=\frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

$x=\frac{-(-10)+-\sqrt{(-10)^{2}-4.3.7 } }{2.3}$

$x=\frac{10+-\sqrt{100-84} }{6}$

$x=\frac{10+-\sqrt{16} }{6}$

$x=\frac{10+-4}{6}$

$x'=\frac{10+4}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$

$x''=\frac{10-4}{6}=\frac{6}{6}=1$

• O próximo passo é construir o gráfico. A concavidade da parábola será virada para cima, pois a > 0 e os pontos que tocam o eixo x serão 1 e 7/3 (as raízes).

• Após construí-lo, veja que, entre os pontos que tocam no eixo x, a parábola corresponde a um número negativo no eixo y. Isso é significativo, pois todos os outros pontos que são externos às raízes serão positivos.
• Como a inequação está dizendo que o resultado é menor que zero, consequentemente será um número negativo, estando entre os pontos que tocam no eixo x.

Com tudo isso feito, podemos montar o conjunto solução dessa inequação:

S = {x ∈ R | 1 < x < 7/3}

b) -4x² + 9 > 0

• Determinando as raízes, temos:

$x=\frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

$x=\frac{0+-\sqrt{0^{2}-4.-4.9 } }{2.-4}$

$x=\frac{0+-\sqrt{144} }{-8}$

$x=\frac{0+-12}{-8}$

$x'=\frac{12}{-8}=\frac{3}{2}=1,5$

$x''=\frac{-12}{-8}=\frac{-3}{-2}=1,5$

• Feito o gráfico, a parábola terá concavidade para baixo (pois a < 0) e tocará apenas no ponto 1,5 o eixo x. Atentando-se à inequação, notamos que precisamos que o resultado seja maior que zero, porém nenhum valor para x será positivo. Concluímos, assim, que nenhum valor real atende a inequação.

Logo, o conjunto solução será:

S = ∅