Question

Qual o volume gerado quando a área entre o eixo x e o traçado de y=2x²-x³ gira em torno do eixo x?

Answer 1

O volume de uma superfície de revolução é encontrada através de:

                                                 $\int\limits^a_b {A(x)} \, dx$

Neste caso as áreas são círculos, portanto a integral será dada por:

                                                 $\int\limits^a_b {\pi.r^2} \, dx$

Os raios dos círculos são os próprios valores da função em cada ponto, bastando que descubramos os limites de integração, que são as intersecções no eixo x

$2x^2-x^3=0\\\\x^2(2-x)=0\\\\x'=0\\\\x''=2$

$\int\limits^2_0 {\pi.(2x^2-x^3)^2} \, dx\\\\\pi\int\limits^2_0 {(4x^4-4x^5+x^6)} \, dx\\\\\pi[{\frac{4}{5}x^5-\frac{2}{3}x^6+\frac{x^{7}}{7}}\Big|_0^2]\\\\\pi[\frac{4}{5}2^5-\frac{2}{3}2^6+\frac{2^{7}}{7}}]\\\\\frac{128\pi}{105}$