Question

CALCULO 2
A área da superfície de revolução resultante da rotação de ...

Answer 1

A área da superfície de revolução do gráfico de $f(x)$ em torno do eixo $x,$ no intervalo $[a,\;b]$ é dada por

$\boxed{\begin{array}{c} A=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{2\pi\,f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}\,dx} \end{array}}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Para esta questão, temos

$f(x)=\sqrt{x}\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\;\;\Rightarrow\;\;1+[f'(x)]^{2}=1+\dfrac{1}{4x}$


O intervalo a ser considerado é o intervalo $[1,\;4].$


Sendo assim, a área é dada por

$A=\displaystyle\int\limits_{1}^{4}{2\pi\,\sqrt{x}\cdot \sqrt{1+\dfrac{1}{4x}}\,dx}\\ \\ \\ A=\int\limits_{1}^{4}{2\pi\,\sqrt{x}\cdot \sqrt{\dfrac{4x}{4x}+\dfrac{1}{4x}}\,dx}\\ \\ \\ A=\int\limits_{1}^{4}{2\pi\,\sqrt{x}\cdot \sqrt{\dfrac{4x+1}{4x}}\,dx}\\ \\ \\ A=\int\limits_{1}^{4}{2\pi\,\sqrt{x}\cdot \dfrac{\sqrt{4x+1}}{\sqrt{4x}}\,dx}\\ \\ \\ A=\int\limits_{1}^{4}{\diagup\!\!\!\!2\pi\,\sqrt{\diagup\!\!\!\! x}\cdot \dfrac{\sqrt{4x+1}}{\diagup\!\!\!\!2\sqrt{\diagup\!\!\!\! x}}\,dx}\\ \\ \\ A=\int\limits_{1}^{4}{\pi\,\sqrt{4x+1}\,dx}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


Fazendo a seguinte mudança de variável:

$4x+1=u\;\;\Rightarrow\;\;4x\,dx=du\;\;\Rightarrow\;\;dx=\dfrac{1}{4}\,du$


Mudando os limites de integração:

$\text{Quando }x=1\;\;\Rightarrow\;\;u=5\\ \\ \text{Quando }x=4\;\;\Rightarrow\;\;u=17$


Substituindo em $\mathbf{(ii)},$ a integral fica

$A=\displaystyle\int\limits_{5}^{17}{\pi\sqrt{u}}\cdot \dfrac{1}{4}\,du\\ \\ \\ A=\dfrac{\pi}{4}\int\limits_{5}^{17}{\sqrt{u}\,du}\\ \\ \\ A=\dfrac{\pi}{4}\cdot \left.\left(\dfrac{2}{3}\,u^{3/2} \right )\right|_{5}^{17}\\ \\ \\ A=\dfrac{\pi}{4}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \left(17^{3/2}-5^{3/2} \right )\\ \\ \\ A=\dfrac{\pi}{6}\cdot \left(\sqrt{17^{3}}-\sqrt{5^{3}} \right )\\ \\ \\ A=\dfrac{\pi}{6}\cdot \left(\sqrt{17^{2}\cdot 17}-\sqrt{5^{2}\cdot 5} \right )\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}A=\dfrac{\pi}{6}\cdot \left(17\sqrt{17}-5\sqrt{5} \right )~\mathrm{u.a.} \end{array}}$


Resposta: alternativa $\text{a.~~~}\pi\!\left[\dfrac{17\sqrt{17}-5\sqrt{5}}{6} \right ]~\mathrm{u.a.}$