Question

Calcule a distˆancia entre a reta r : x 2 = y −1 = z−3 −2 e o ponto A = (1, 2, 3).

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Equação paramétrica da reta:

r:

x=1-2t

y=2t

z=2-t ...t ∈ Reais

Equação vetorial da reta

(x,y,z)=(1,0,2) + t *(-2,2,-1) ...t ∈ Reais

V=(-2,2,-1) é o vetor diretor da reta

Q é um ponto qualquer da reta, fazendo

fazendo t=0 ==> Q=(1,0,2)

P=(1,2,3) é o ponto do texto

Encontrando o vetor QP=(1-1,2-0,3-2)=(0,2,1)

Produto vetorial V x QP

x     y       z      x       y

0     2      1      0       2

-2     2    -1      -2       2

det= -2x-2y-2x+4z =-4x-2y+4z ==>(-4,-2,4)

|V x QP| = √[(-4)²+(-2)²+4²] = √36=6

|V|= √[(-2)²+2²+(-1)²]= √(4+4+1)= √9=3

distância = |V x QP| / |V| =6/3=2

b)

vou fazer a distância entre o ponto P e o eixo x ...( o Método é o mesmo)

eixo x:

Equação vetorial da reta

(x,y,z) =(0,0,0) + t *(1,0,0)   ...t ∈ Reais

V=(1,0,0) é o vetor da reta

Q é um ponto qualquer da reta

fazendo t=0 ==> (0,0,0)

P=(1,2,3) é o ponto do texto

Encontrando o vetor QP=(1,2,3)

Produto vetorial V x QP

  x     y    z    x     y

  1     2    3   1     2

  1     0    0   1     0

det=3y-2z ==> (0,3,-2)

|V x QP| = √[(0)²+(3)²+(-2)²] = √13

|V|= √[(1)²+0²+0²]= 1

istância = |V x QP| / |V| =√13/1=√13    eu acho