Question

Determine o valor de m para que o triangulo de vértices A = (-2,-2,m) B=(4,2,2) e C= (4,-10,6) seja um triângulo retângulo, com ângulo reto em A.

Answer 1

Consideremos os três lados do triângulo:
AB, AC, CB

Sendo AB e AC os catetos e CB a hipotenusa, podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o valor da hipotenusa ou catetos:

CB² = AB² + AC²

Lembrando que a distância entre dois pontos (nesse caso, no espaço R³ - tridimensional - pois há três coordenadas para cada ponto: x, y e z) pode ser encontrada pela fórmula:

$D_{AB}=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}}$


Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:


$CB^{2}=AB^{2}+AC^{2}\\ \\ D_{CB}=\left(\sqrt{\left(4-4\right)^{2}+\left(-10-2\right)^{2}+\left(6-2\right)^{2}}\right)^{2}\ \Rightarrow\\ \\ \\ D_{CB}=\left(4-4\right)^{2}+\left(-10-2\right)^{2}+\left(6-2\right)^{2}\ \Rightarrow\\ \\ D_{CB}=0+\left(-12\right)^{2}+\left(4\right)^{2}\ \Rightarrow\\ \\ D_{CB}=0+144+16=160$


$D_{AB}=\left(\sqrt{\left(4-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2-m\right)^{2}}\right)^{2}\ \Rightarrow\\ \\ \\ D_{AB}=\left(4+2\right)\right)^{2}+\left(2+2\right)^{2}+\left(2-m\right)^{2}\ \Rightarrow\\ \\ D_{AB}=36+16+\left(4-4m+m^{2}\right)\ \Rightarrow\\ \\ D_{AB}=52+4-4m+m^{2}\ \Rightarrow\\ \\ D_{AB}=m^{2}-4m+56$


$D_{AC}=\left(\sqrt{\left(4-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(-10-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(6-m\right)^{2}}\right)^{2}\ \Rightarrow\\ \\ \\ D_{AC}=\left(4+2\right)^{2}+\left(-10+2\right)^{2}+\left(36-12m+m^{2}\right)^{2}\ \Rightarrow\\ \\ D_{AC}=36+64+36-12m+m^{2}\ \Rightarrow\\ \\ D_{AC}=m^{2}-12m+136$


$CB^{2}=AB^{2}+AC^{2}\\ \\ 160=\left(m^{2}-4m+56\right)+\left(m^{2}-12m+136\right)\ \Rightarrow\\ \\ 160=m^{2}-4m+56+m^{2}-12m+136\ \Rightarrow\\ \\ 2m^{2}-16m+192-160=0\ \Rightarrow\\ \\ 2m^{2}-16m+32=0\ \Rightarrow\\ \\ m^{2}-8m+16=0\ \Rightarrow\\ \\ m=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}\ \Rightarrow\\ \\ \\ m=\dfrac{8\pm\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 16}}{2\cdot 1}\ \Rightarrow\\ \\ \\ m=\dfrac{8\pm\sqrt{64-64}}{2}\ \Rightarrow$


$m=\dfrac{8\pm\sqrt{0}}{2}\ \Rightarrow\\ \\ \\ m=\dfrac{8\pm 0}{2}\ \Rightarrow\\ \\ \\ m=\dfrac{8}{2}\ \Rightarrow\ m=4$


Assim, o valor de m para que o triângulo seja um triângulo retângulo com ângulo reto em A é m = 4.